Вариант № 02

1. Найти область определения функции :.

Область определения данной функции определяется неравенством . Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: . Из левого неравенства находим или . Из правого неравенства или . Объединяя результаты, получим: . Ответ: .

2. Построить график функции: .

Так как всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию: . Таким образом, .

Ответ: график представлен на рисунке.

3. Построить график функции:

Данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию. Вынесем за скобки множитель 2: Последовательно строим сначала , затем ( переворачивая график вокруг оси ОХ), затем «сжимаем» график в два раза по оси ОХ и получаем , затем сдвигаем график вправо по оси ОХ на величину 1/2. Ответ: построения представлены на рисунках (Y – в радианах).

4. Построить график функции:

Исключим параметр T, применяя формулу . Подставляя это во вторую формулу, получим: или . Функция определена на всей числовой оси. Ответ: График представлен на рисунке.

5. Построить график функции: .

Перейдём к декартовым координатам. Так как , то . Подставим это в функцию: . Следовательно, или . Возведём обе части в квадрат: . Окончательно, данная функция в декартовых координатах имеет вид: . Это парабола с вершиной в точке (-1;0), пересекающая ось ОY в точках Y1=−2 и Y2=2. Ответ: График представлен на рисунке.

6. Вычислить предел: .

Воспользуемся формулой бинома Ньютона , где . Получим:

. Ответ: .

7. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Разлагаем числитель на простые множители:

.

Ответ: .

8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённое выражение: . Числитель разложим на множители как сумму кубов двух чисел. Получим:

.

Ответ: .

9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Воспользуемся формулой и первым замечательным пределом: :

Ответ: .

10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).

Приведём предел ко второму замечательному пределу: :

. Ответ: .

11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Умножим и поделим на сопряжённое к числителю выражение:

| Ln(T+1)~T |.

Ответ: .

12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения – все действительные числа, кроме X=−3 и X=3. В точках X=−3 и X=3 функция имеет разрывы, во всех других точках является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в окрестности точек разрыва: . Таким образом, в точках X=−3 и X=3 имеют место бесконечные разрывы второго рода. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: . Ответ: В точках X=−3 и X=3 функция имеет разрывы второго рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на три интервала, на каждом из которых функция F(X) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точками разрыва могут быть только точки, разделяющие интервалы. Вычислим односторонние пределы:

. Таким образом, в точке X=1 функция непрерывна, а в точке X=3 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке X=2 равна (−1).

Ответ: В точке X=3 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

14. Исходя из определения производной, найти :

.

По определению . Заменим ΔX на X-X0:

. Но , поэтому . В данном случае . Этот предел не существует, следовательно, не существует и производная в точке . Ответ: не существует.

15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: . Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда Y:

. Ответ: .

16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :

.

Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:

. Найдём производные и : . Тогда . Далее, , следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и .

Ответ:

17. Функция Y(X), заданная неявно уравнением , принимает в точке Значение . Найти .

Дифференцируем уравнение по X, предполагая, что Y= Y(X): . Из этого равенства находим: . Находим вторую производную: . Или

. Вычислим производные в точке : . Ответ: ,

, .

18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .

По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ:

19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (1∞). Преобразуем предел: . Найдём предел в показателе степени: . Следовательно, . Ответ: .

20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (∞/∞):

.Ответ: .

21. Многочлен по степеням X представить в виде многочлена по степеням : .

Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .

Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .

Ответ: .

22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки X0 с точностью до : .

Применяем формулу Тейлора:

.

Вычисляем последовательно:

.

Ответ:

23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .

Найдём значение функции и её первых пяти производных в заданной точке:

. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (2, 0) функция ведёт себя как степенная функция пятой степени. Точка (2, 0) является точкой перегиба: слева – интервал выпуклости, справа – интервал вогнутости.

24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

По формуле Тейлора

. Аналогично,

. Подставим это в предел:

.

Ответ: .

25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .

Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничных точках области определения:

. Отсюда следует, что прямые и являются вертикальными асимптотами. Исследуем функцию при : . Из этого следует, что имеется наклонная асимптота , где K=1/3. Действительно,

. Тогда

. Таким образом, прямая является наклонной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.

26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график:.

1. Область определения: . 2. Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. 3. Функция непрерывна во всех точках области определения. Точка является точкой разрыва второго рода. Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва: . Прямая является вертикальной асимптотой. 4. Исследуем асимптотическое поведение функции: , , следовательно, прямая является горизонтальной асимптотой. Наклонных асимптот нет. 5. Первая производная

. Производная обращается в нуль в точке , в точке производная не существует. В интервале - функция монотонно убывает, в интервале - функция монотонно возрастает, в интервале - функция монотонно убывает. Следовательно, в точке имеет место минимум функции, причём . 6.

. Вторая производная нигде в нуль не обращается, в точке вторая производная не существует. Имеем два интервала: и . В обоих интервалах производная - интервалы вогнутости. 7. График функции не пересекает осей координат. Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремум в точке , точек перегиба нет.

< Предыдущая		Следующая >