Вариант № 01

1. Найти область определения функции :.

Область определения данной функции определяется неравенством . Корнями уравнения являются числа . Так как ветви параболы направлены вверх, то неравенство выполняется при и . Ответ: .

2. Построить график функции: .

Так как всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию:

. Таким образом, .

Ответ: график представлен на рисунке.

3. Построить график функции:

Данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию. Вынесем за скобки множитель 2: Последовательно строим сначала , затем , затем сдвигаем график вправо по оси ОХ на величину π/6. Ответ: построения представлены на рисунках.

4. Построить график функции:

Исключим параметр T, подставляя во вторую формулу . Получим . Функция определена для X>0. Ответ: График представлен на рисунке.

5. Построить график функции: .

Перейдём к декартовым координатам. Так как , то . Подставим это в функцию: . Следовательно, или . Возведём обе части в квадрат:

. Окончательно, данная функция в декартовых координатах имеет вид:

. Это парабола с вершиной в точке

(0;-1), пересекающая ось ОХ в точках X1=−2 и X2=2. Ответ: График представлен на рисунке.

6. Вычислить предел: (неопределённость вида (∞/∞)).

Воспользуемся формулой для суммы арифметической прогрессии: . Тогда

. Ответ: .

7. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители:

. Ответ: .

8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Умножаем числитель и знаменатель на сопряжённые выражения: . Ответ: .

9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Воспользуемся формулой и первым замечательным пределом: : .

Ответ: .

10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).

Приведём предел ко второму замечательному пределу: :

. Ответ: .

11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Сделаем замену переменной: . Тогда

| Ln(T+1)~T|=. Ответ: .

12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения – все действительные числа, кроме X=2. В точке X=2 функция имеет разрыв, во всех других точках является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва: . Таким образом, в точке X=2 имеет место бесконечный разрыв второго рода. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности:

. Ответ: В точке X=2 функция имеет разрыв второго рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на три интервала, на каждом из которых функция F(X) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точками разрыва могут быть только точки, разделяющие интервалы. Вычислим односторонние пределы:

. Таким образом, в точке X=0 функция непрерывна, а в точке X=2 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке X=2 равна (−1).

Ответ: В точке X=2 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

14. Исходя из определения производной, найти :

.

По определению . Заменим ΔX на X-X0:

. Но , поэтому . В данном случае

. Далее, ~, т. е.

, так как . Следовательно, .

Ответ: .

15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: . Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда Y: . Ответ: .

16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :

.

Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:

. Найдём производные и : . Тогда . Далее, , следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и .

Ответ:

17. Функция Y(X), заданная неявно уравнением , принимает в точке Значение . Найти .

Дифференцируем уравнение по X, предполагая, что Y= Y(X):

. Из этого равенства находим: . Из уравнения функции . Поэтому . Находим вторую производную:

. Вычислим производные в точке : . Ответ: ,

, .

18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .

По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ:

19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (1∞). Преобразуем предел: . Найдём предел в показателе степени: . Следовательно, . Ответ: .

20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (0∙∞). Преобразуем предел:

.

Ответ: .

21. Многочлен по степеням X представить в виде многочлена по степеням : .

Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .

Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .

Ответ: .

22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки X0 с точностью до : .

Применяем формулу Тейлора:

.

Вычисляем последовательно:

.

Ответ:

23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .

Найдём значение функции и её первых трёх производных в заданной точке:

. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (2, -4) функция ведёт себя как кубическая функция. Точка (2, -4) является точкой перегиба: слева – интервал выпуклости, справа – интервал вогнутости.

24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

По формуле Тейлора

. Аналогично,

. Подставим это в предел:

.

Ответ: .

25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .

Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничных точках области определения: . Отсюда следует, что прямые и являются односторонними вертикальными асимптотами. Исследуем функцию при : . Следовательно, прямая является горизонтальной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.

26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график:.

1. Область определения: . 2. Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. 3. Функция непрерывна. Вертикальных асимптот нет. 4. , следовательно, наклонных асимптот нет. 5. Первая производная . Производная в нуль не обращается ни в одной точке, следовательно, экстремумов нет. Функция монотонно возрастает, так как для всех X. 6.

. В точке вторая производная равна нулю. Кроме того, в точке вторая производная не существует. Имеем три интервала: в интервале производная - интервал вогнутости, в интервале производная - интервал выпуклости, в интервале производная - интервал вогнутости. 7. При функция равна . Точка (0, 1) – точка пересечения оси ОУ. С осью ОХ график не пересекается. Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремумов нет, точки перегиба (0, 1) и (8, e2 ).

Следующая >