Задача 1
Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения.
Решение
Данное дифференциальное уравнение – уравнение с разделяющимися переменными.
Запишем исходное уравнение в виде
.
Переменные разделены. Интегрируем дифференциалы в обеих частях, имея в виду, что 
:
,
Вычислим интегралы, и найдем общее решение дифференциального уравнения:
1) 
,
2)
,
откуда получаем
- общий интеграл дифференциального уравнения
Ответ:
Задача 2
Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения.
Решение
Данное дифференциальное уравнение – однородное.
Здесь функции 
и 
однородные, второй степени.
Полагаем 
. Тогда 
. Подставляя в уравнение, получим:
или 
.
Тогда 
. Решаем это уравнение с разделяющимися переменными:
Вычислим интегралы, и найдем общее решение дифференциального уравнения:
1) 
2) 
Имеем: 
.
Возвращаясь к старой переменной 
, получим:
.
Кроме того, имеется решение 
, которое было потеряно при делении на 
.
Ответ:
Задача 3
Найти решение задачи Коши.
, 
Решение
Данное дифференциальное уравнение – обобщенное однородное.
Если считать, что х и dx величины первого измерения, а у и dy – измерения q=-1, то исходное уравнение можно отнести к обобщенному однородному дифференциальному уравнению. Воспользуемся заменой
, 
, тогда
или 
Решаем это уравнение с разделяющимися переменными:
.
Сделаем обратную подстановку 
или 
Так как, по условию, , то 
. Следовательно, 
Окончательно имеем 
Ответ:
Задача 4
Найти общее решение или общий интеграл дифференциального уравнения второго (третьего) порядка.
Решение
Данное дифференциальное уравнение - уравнения, допускающие понижение порядка.
В это уравнение не входит , следовательно, полагаем 
Тогда 
. Подставляя 
в исходное уравнение, получим 
или 
, Тогда: 
Решаем это уравнение с разделяющимися переменными:
Вычислим интегралы, и найдем общее решение дифференциального уравнения:
1) 
2) 
Имеем: 
или 
, тогда 
Обратная подстановка: 
или 
. Тогда 
или 
.
Разделим переменные: 
. Имеем:
То есть, окончательно 
Ответ:
Задача 5
Найти общее решение уравнения 
, используя характеристическое уравнение и метод вариации произвольных постоянных
, 
, 
Решение
Имеем дифференциальное уравнение: 
. Его характеристическое уравнение 
имеет корни 
. Тогда общее решение однородного уравнения имеет вид: 
. Общее решение неоднородного уравнения запишем в виде: 
, где «варьированные» постоянные 
и
найдутся по формулам:
, 
,
в нашем случае , 
, 
. Тогда:
, 
,
перед вычислением интегралов необходимо найти явный вид Вронскиана W. Имеем:
.
Тогда вид интегралов упрощается
, 
,
Найдём эти интегралы:
В результате искомое общее решение неоднородного дифференциального уравнения принимает вид:
Окончательно: 
Ответ:
Задача 6
Операторным методом найти решение задачи Коши.
Для нечётных вариантов: 
, 
, 
.
Для чётных вариантов: 
, 
, 
.
, 
, 
Решение
Так как вариант чётный, то получим задание:
, , .
Переходим к изображению:
или 
Разложим рациональную дробь на простейшие
Приравняем числители
Таким образом 
Переходим к оригиналу 
Ответ:
Задача 7
Решить задачу Коши для системы уравнений
с начальными условиями 
, 
двумя способами: методом исключения неизвестных и операторным методом.
, 
, 
, 
, 
, 
Решение
В нашем случае имеем систему:
с начальными условиями ,
а) Метод исключения неизвестных.
Продифференцируем по t первое уравнение
Исключая с помощью второго уравнения 
и с помощью первого уравнения системы, получим
, 
, 
Таким образом, задача свелась к линейному однородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Характеристическое уравнение 
имеет корни 
и 
. Следовательно, общее решение для х будет 
. Подставляя х в первое уравнение, находим общее решение для у
Для определения произвольных постоянных воспользуемся начальными условиями. При t=0 
, тогда 
, при t=0
, тогда 
.
Имеем систему:
Следовательно, 
, 
Тогда частное решение имеет вид:
а) Операторный метод.
Перейдя к изображениям, получим
или 
Решаем эту систему относительно 
, 
, 
или разлогая рациональные дроби на простейшие
, 
Переходя к оригиналу, окончательно получим
Ответ: