ТЕМА
“ТЕХНИКА ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ”
Вариант 9.
1. Найти производные функций:
1) 
; 2) 
; 3) 
; 4) 
; 5) 
;
6) 
; 7) 
; 8) 
;
9) 
;10) 
; 11) 
.
Решение
1) 
;
2) 
;
3) 
;
4)
;
5) 
6)
6)
7)
;
8)
9)
;
10)
11)
.
2. Логарифмическое дифференцирование:
1) 
; 2) 
; 3) 
.
Решение
1) ;
Логарифмируем правую и левую части уравнения:
Дифференцируем:
Тогда 
2) ;
Логарифмируем правую и левую части уравнения:
Дифференцируем:
Тогда 
3) .
Логарифмируем правую и левую части уравнения:
Дифференцируем:
Тогда 
3. Найти производную функций, заданных неявно:
1) 
; 2) 
.
Решение
1) ;
Дифференцируя уравнение по 
, имеем: 
.
Разрешая полученное уравнение относительно 
, получим:
.
2) 
.
Дифференцируя уравнение по , имеем: 
.
Разрешая полученное уравнение относительно , получим:
.
4. Найти производные функций, заданных параметрически:
1) 
; 2) 
.
Решение
1) ;
По формуле 
.
2) .
По формуле .
5. Найти производные второго порядка заданных функций:
1) 
; 2) 
.
Решение
1) ;
2) .
По формуле 
Тогда 
6. Записать уравнения касательной и нормали к кривой 
в точке x = 2.
Решение
Уравнение касательной найдём используя формулу Y = F(X0) + F '(X0)(X – X0);
Найдём 
, 
, 
.
Тогда: 
Ответ: 
Тема “Приложения дифференциального исчисления”
Вариант № 9.
Вычислить пределы по правилу Лопиталя:
1. 
; 3. 
; 2. 
; 4. 
.
Решение
1.
3. 
;
2.
4. .
При х стремится к 0 имеем неопределённость 
Прологарифмируем данную функцию 
.
Тогда 
Так как 
Тогда
7. Найти наименьшее и наибольшее значения функции 
на отрезке 
.
Решение
Необходимо вычислить значение функции на концах интервала, и в точках экстремума, если таковые имеются на данном интервале, и выбрать наименьшее и наибольшее из них.
Найдём производную данной функции: 
Найдем нули производной на заданном отрезке: 
Точка х = 0 принадлежит заданному интервалу и лежит на его границе.
Таким образом, вычисляем значение функции в точках: 0 и 1.
, 
Ответ: Функция принимаете наименьшее значение при х=0 
, наибольшее значение при х=1 
8. Найти соотношение между радиусом R и высотой H цилиндра, имеющего при данном объеме V=24 наименьшую полную поверхность.
Решение
Формула площади полной поверхности имеет вид 
.
Так как 
, то выразив 
можно получить 
.
Исследуем S (R) на экстремум. 
.
Экстремум возможен если 
т. е. 
. Проверим смену знаков 
При S(R) имеет локальный минимум и подставляя получаем 
.
Ответ:
Тема «Неопределенный интеграл»
Вариант 9
1. Непосредственное интегрирование.
1).
; 2). 
; 3). 
.
Решение
1).
2). 
;
3). 
.
2. Метод подведения под знак дифференциала.
1).
; 2).
;3).
;4).
;
5).
; 6).
.
Решение
1).
;
2).
;
3).
;
4).
;
5).
;
6).
.
3. Метод интегрирования по частям.
1).
;2).
;3). 
.
Решение
1).
;
2).
;
3).
.
4. Интегрирование некоторых выражений, содержащих квадратный трехчлен.
1). 
;2). 
; 3). 
;4) 
.
Решение
1). 
;
2). 
;
3). 
;
4) 
.
5. Интегрирование рациональных функций.
1). 
;2). 
;3). 
;4). 
.
Решение
1).
;
2). 
Разложим подынтегральную дробь на простые дроби:
3). 
Разложим подынтегральную дробь на простые дроби:
4). 
.
Разложим подынтегральную дробь на простые дроби:
6. Интегрирование тригонометрических функций.
1). 
; 2). 
; 3). 
.
Решение
1). 
;
2). 
3). 
.
7. Интегрирование иррациональных функций.
1). 
; 2).
.
Решение
1).
;
2).
.
ТЕМА
“ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЯ”
Вариант №9.
Вычислить интегралы:
1.
; 2.
; 3.
; 4.
; 5.
.
Решение
1.
;
2.
3.
;
4.;
Решим сначала соответствующий неопределённый интеграл
Тогда
5.
.
6. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями:
Решение
Изобразим данную фигуру:
По формуле 
. В нашем случае 
.
Имеем 
, 
. Тогда
Ответ: 
(кв. ед)
7. Вычислить длину дуги кривой, заданной уравнением:
Решение
По формуле 
В нашем случае 
Тогда 
Ответ: 
8. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями 
вокруг оси OX.
Решение
Изобразим проекцию данного тела на плоскость хОу
Найдём абсциссы точек пересечения данных линий. Для этого решим систему: 
По формуле 
В нашем случае 
Подставив, получим:
Ответ: 
(куб. ед)