Вариант № 03

1. Найти область определения функции :.

Область определения данной функции определяется неравенством . Освободимся от знака модуля: при неравенство Никогда не выполняется; при неравенство выполняется всегда. Объединяя результаты, получим: . Ответ: .

2. Построить график функции: .

Так как всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию: . Таким образом, .

Ответ: график представлен на рисунке.

3. Построить график функции:

Данная функция определена для X, удовлетворяющих неравенству или . Преобразуем функцию. Вынесем за скобки множитель −3: Последовательно строим сначала , затем (переворачивая график вокруг оси ОY и «сжимая» его в три раза по оси ОХ), затем сдвигаем график вправо по оси ОХ на величину 2/3. Ответ: построения представлены на рисунках.

4. Построить график функции:

Исключим параметр T, применяя формулу . Подставляя сюда (), получим: . Так как по определению , то область определения функции будет . Ответ: График представлен на рисунке.

5. Построить график функции: .

Поскольку , то функция существует для тех значений φ, для которых . Это наблюдается при или . Полагая , получим шесть интервалов для φ, в которых изменяется одинаково, возрастая с нуля до двух, затем убывая с 2 до нуля. Таким образом, графиком будет шестилепестковая роза. Ответ: График представлен на рисунке.

6. Вычислить предел: .

Воспользуемся формулой бинома Ньютона , где . Получим:

. Ответ: .

7. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители:

. Ответ: .

8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Преобразуем выражение:

.

Ответ: .

9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Воспользуемся формулой и первым замечательным пределом: : . Ответ: .

10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).

Приведём предел ко второму замечательному пределу: :

, где . Таким образом,

Ответ: .

11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Воспользуемся эквивалентными величинами (при x→∞): Arctg(X)~Tg(X)~X,

~. Тогда .

Ответ: .

12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения – все действительные числа, кроме X=−1. В точке X=−1 функция имеет разрыв, во всех других точках является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва: . Таким образом, в точке X=−1 имеют место разрыв первого рода. Скачёк функции в точке разрыва равен (-2). Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: . Ответ: В точке X=−1 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на три интервала, на каждом из которых функция F(X) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точками разрыва могут быть только точки, разделяющие интервалы. Вычислим односторонние пределы:

. Таким образом, в точке X=4 функция непрерывна, а в точке X=0 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке X=0 равна 4.

Ответ: В точке X=0 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

14. Исходя из определения производной, найти :

.

По определению . Заменим ΔX на X-X0:

. Но , поэтому . В данном случае . Но Tg(T) ~T, а 2T-1~t∙ln(2) при T→0 . Поэтому

, так как при любом X. Ответ: .

15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: . Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда Y:

Ответ: .

16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :

.

Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:

. Найдём производные и : . Тогда . Далее, , следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и . Ответ:

17. Функция Y(X), заданная неявно уравнением , принимает в точке Значение . Найти .

Дифференцируем уравнение по X, предполагая, что Y= Y(X): . Из этого равенства находим: . Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке : .

Ответ: , , .

18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .

По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ:

19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (1∞). Преобразуем предел: . Найдём предел в показателе степени: . Следовательно, . Ответ: .

20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (∞-∞):

. Но ~X. Поэтому

. Ответ: .

21. Многочлен по степеням X представить в виде многочлена по степеням : .

Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .

Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .

Ответ: .

22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки X0 с точностью до : .

Применяем формулу Тейлора:

.

Вычисляем последовательно:

.

Ответ:

23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .

Найдём значение функции и её первых четырёх производных в заданной точке:

. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (2, -2) функция ведёт себя как степенная функция четвёртой степени. Точка (2, -2) является точкой минимума функции.

24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

По формуле Тейлора . Аналогично, . Подставим это в предел:

.

Ответ: .

25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .

Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в точке разрыва функции: . Отсюда следует, что прямая является вертикальной асимптотой. Исследуем функцию при : . Из этого следует, что имеется наклонная асимптота , где K=1. Действительно,

. Тогда

. Таким образом, прямая является на-

Клонной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.

26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график:.

1. Область определения: . 2. Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. 3. Функция непрерывна. Вертикальных асимптот нет. 4.

, следовательно, - односторонняя горизонтальная асимптота, наклонных асимптот нет. 5. Первая производная

. Производная обращается в нуль в точке . При производная , следовательно, функция возрастает, При производная , следовательно, функция убывает. Точка является точкой максимума функции, причём . 6. . В точке вторая производная равна нулю. Имеем два интервала: в интервале производная - интервал выпуклости, в интервале производная - интервал вогнутости. Точка - точка перегиба. 7. При функция равна , точка – точка пересечения оси ОУ. При получим , точка – точка пересечения оси ОХ. Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремум (максимум) в точке (-2, 1), точки перегиба – точка .

< Предыдущая		Следующая >