Вариант № 04

1. Найти область определения функции :.

Область определения данной функции определяется неравенством . Кроме того, знаменатель не должен обращаться в нуль. Найдём корни знаменателя: . Объединяя результаты, получим: . Ответ: .

2. Построить график функции: .

Так как всегда, то данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию: . Таким образом, .

Ответ: график представлен на рисунке.

3. Построить график функции:

Данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию. Вынесем за скобки множитель 2: Последовательно строим сначала , затем («сжимая» график в два раза по оси ОХ), затем сдвигаем график влево по оси ОХ на величину 1/2. Ответ: построения представлены на рисунках.

4. Построить график функции:

Исключим параметр T: или . Функция определена только для , так как всегда. Это часть параболы, вершина которой находится в точке (1/2, -1/4), а ветви направлены вверх. Ответ: График представлен на рисунке.

5. Построить график функции: .

Поскольку , то функция существует для тех значений φ, для которых . Это наблюдается при или . Строим график, изменяя φ в этих пределах. Получим окружность. Можно строить график другим способом. Так как , то . Кроме того, .

Или или . Это уравнение окружности. Его можно привести к канонической форме: .

Ответ: График представлен на рисунке.

6. Вычислить предел: (неопределённость вида (∞/∞)).

Воспользуемся формулой бинома Ньютона , где . Получим:

. Ответ: .

7. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители:

. Ответ: .

8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое по отношению к числителю выражение: или . Ответ: .

9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Перейдём к синусу в знаменателе: .

Далее, .

Воспользуемся формулой :

.Ответ: .

10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).

Приведём предел ко второму замечательному пределу: :

. Ответ: .

11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Воспользуемся эквивалентностью (при ): ~Sin(2X)~2X. Получим:

. Cделаем замену переменной: . Тогда

. Следовательно,

. Далее, ~T. Таким образом,

. Ответ: .

12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения – все действительные числа, кроме X=1. В точке X=1 функция имеет разрыв, во всех других точках является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва: . Таким образом, в точке X=1 имеют место разрыв второго рода. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: . Ответ: В точке X=1 функция имеет разрыв второго рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на три интервала, на каждом из которых функция F(X) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точками разрыва могут быть только точки, разделяющие интервалы. Вычислим односторонние пределы:

. Таким образом, в точке X=2 функция непрерывна, а в точке X=1 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке X=1 равна (-1).

Ответ: В точке X=1 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

14. Исходя из определения производной, найти :

.

По определению . Заменим ΔX на X-X0:

. Но , поэтому . В данном случае . Но Arctg(T) ~T, а 2T-1~t∙ln(2) при T→0 . Поэтому

, так как при любых значениях X. Ответ:

15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: .

Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда Y:

Ответ: .

16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :

.

Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:

. Найдём производные и : . Тогда . Далее, , следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и .

Ответ:

17. Функция Y(X), заданная неявно уравнением , принимает в точке Значение . Найти .

Дифференцируем уравнение по X, предполагая, что Y= Y(X): . Из этого равенства находим: . Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке : . Ответ: , , .

18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .

По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ:

19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (1∞). Преобразуем предел: . Найдём предел в показателе степени: . Следовательно, . Ответ: .

20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (∞-∞). Здесь ~X и ~X, следовательно,

. Ответ: .

21. Многочлен по степеням X представить в виде многочлена по степеням : .

Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .

Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .

Ответ: .

22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки X0 с точностью до : .

Применяем формулу Тейлора:

.

Вычисляем последовательно:

.

Ответ:

23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .

Найдём значение функции и её первых четырёх производных в заданной точке:

. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (0, 0) функция ведёт себя как степенная функция четвёртой степени. Точка (0, 0) является точкой минимума функции.

24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

По формуле Тейлора .Подставим это в предел: .

Ответ: .

25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .

Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничных точках области определения: . Отсюда следует, что прямые и являются вертикальными асимптотами. Исследуем функцию при :

. Следовательно, прямая является наклонной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.

26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график:.

1. Область определения: . 2. Функция чётная, периодичность отсутствует.

3. Функция непрерывна. Вертикальных асимптот нет. 4. , следовательно, наклонных асимптот нет. 5. Первая производная . Производная обращается в нуль в точке . Кроме того, производная терпит разрывы в точках и . При производная , следовательно, функция убывает, при производная - функция возрастает, при производная , следовательно, функция убывает. Точка является точкой максимума функции, причём . При производная , следовательно, функция снова возрастает. 6. . В точках и вторая производная равна нулю. Кроме того, в точках и вторая производная не существует. Имеем пять интервалов: в интервале производная - интервал вогнутости, в интервале , в интервале и в интервале ПроизВодная - интервалы выпуклости, в интервале производная - интервал вогнутости. Точки и являются точками перегиба. 7. При функция равна . Точка (0, 3/4) – точка пересечения оси ОУ. С осью ОХ график не пересекается. Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремум в точке (0, 3/4) - максимум, точки перегиба и .

< Предыдущая		Следующая >