Вариант № 05

1. Найти область определения функции :.

Область определения данной функции определяется неравенством . Корнями уравнения являются числа . Так как ветви параболы направлены вниз, то неравенство выполняется при . Ответ: .

2. Построить график функции: .

Данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию: если , то .

Если , то . Таким образом, .

Ответ: график представлен на рисунке.

3. Построить график функции:

Данная функция определена при или . Преобразуем функцию. Вынесем за скобки множитель 3: Последовательно строим сначала , затем , «сжимая» график в три раза по оси ОХ, затем сдвигаем график вправо по оси ОХ на величину 1/3. Ответ: построения представлены на рисунках (Y – в радианах).

4. Построить график функции:

Исключим параметр T. Подставим во вторую формулу, получим: или . Функция определена при , так как всегда . Ответ: График представлен на рисунке.

5. Построить график функции: .

Функция существует, если , т. е. или . Функция монотонно возрастает от 0 до 4 в интервале и монотонно убывает от 4 до 0 в интервале . Ответ: График представлен на рисунке.

6. Вычислить предел: .

Возведём все скобки в квадраты, получим:

.

Ответ: .

7. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители: .

Ответ: .

8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Умножим числитель и знаменатель на выражение: . . Ответ: .

9. Вычислить предел: (неопределённость вида (∞/∞)).

Воспользуемся первым замечательным пределом: :

.

Ответ: .

10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).

Приведём предел ко второму замечательному пределу: :

. Ответ: .

11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Воспользуемся эквивалентными величинами:

| Ln(1-2X)~-2X, Arctg3X~3X|. Ответ: .

12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения – все действительные числа, кроме X=0. В точке X=0 функция имеет разрыв, во всех других точках является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва: . Таким образом, в точке X=0 имеют место устранимый разрыв. Полагая , можно считать функцию непрерывной на всей числовой оси. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: . Ответ: В точке X=0 функция имеет устранимый разрыв, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на три интервала, на каждом из которых функция F(X) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точками разрыва могут быть только точки, разделяющие интервалы. Вычислим односторонние пределы:

. Таким образом, в точке X=0 функция непрерывна, а в точке X=1 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке X=1 равна 2.

Ответ: В точке X=0 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

14. Исходя из определения производной, найти :

.

По определению . Заменим ΔX на X-X0:

. Но , поэтому . В данном случае , так как при любых значениях X. Ответ: .

15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: . Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда Y:

Ответ: .

16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :

.

Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:

. Найдём производные и : . Тогда . Далее, , следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и .

Ответ:

17. Функция Y(X), заданная неявно уравнением , принимает в точке значение . Найти .

Дифференцируем уравнение по X, предполагая, что Y= Y(X): . Из этого равенства находим: . Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке : . Ответ: , , .

18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .

По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ:

19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (∞0). Преобразуем предел:

. Найдём предел в показателе степени:

, так как предел знаменателя равен ∞. Следовательно, . Ответ: .

20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (∞-∞). Преобразуем предел, делая замену :

. Ответ: .

21. Многочлен по степеням X представить в виде многочлена по степеням : .

Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .

Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .

Ответ: .

22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки X0 с точностью до : .

Применяем формулу Тейлора:

.

Вычисляем последовательно:

.

Ответ:

23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .

Найдём значение функции и её первых трёх производных в заданной точке:

. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (1, 3) функция ведёт себя как кубическая функция. Точка (1, 3) является точкой перегиба: слева – интервал вогнутости, справа – интервал выпуклости.

24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

По формуле Тейлора . Аналогично, . Подставим это в предел:

.

Ответ: .

25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .

Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничных точках области определения:

. Отсюда следует, что прямые и являются вертикальными асимптотами. Исследуем функцию при : . Следовательно, прямые и являются наклонными односторонними асимптотами. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.

26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график:.

1. Область определения: . 2. Функция чётная, периодичность отсутствует.

3. Функция непрерывна. Вертикальных асимптот нет. 4. , наклонных асимптот нет. 5. Первая производная . Производная в нуль не обращается ни в одной точке. В точке разрыва производной X=0 изменяется. При X<0 производная - функция убывает, При X>0 производная - функция возрастает, следовательно, в точке X=0 имеет место минимум функции, причём .

6. .

В точках и Вторая производная равна нулю. Кроме того, в точке вторая производная не существует. Имеем три интервала: в интервале производная - интервал вогнутости, в интервалах и Производная - интервалы выпуклости, в интервале производная - интервал вогнутости. Таким образом, точки и являются точками перегиба. 7. При функция равна . Точка (0, 3/2) – точка пересечения оси ОУ. С осью ОХ график не пересекается. Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремум в точке (0, 3/2) - минимум, точки перегиба и . Значение функции в точках перегиба одинаковы и равны .

< Предыдущая		Следующая >