Система дифференциальных уравнений

Решить систему дифференциальных уравнений:

, .

Решение

Метод исключения неизвестных.

Продифференцируем по t первое уравнение

Исключая с помощью второго уравнения и с помощью первого уравнения системы, получим ,

Таким образом, задача свелась к линейному неоднородному уравнению с постоянными коэффициентами второго порядка. Решим соответствующее однородное уравнение . Характеристическое уравнение имеет корни и . Следовательно, общее решение однородного уравнения для х будет . Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде .

Подставим в исходное: .

Тогда

Подставляя х в первое уравнение, находим общее решение для у

Используем начальные условия , .

Тогда окончательно

Ответ: