Основные действия с комплексными числами вытекают из действий с многочленами.
1) Сложение и вычитание.
2) Умножение.
В тригонометрической форме:
, 
С случае комплексно – сопряженных чисел:
3) Деление.
В тригонометрической форме:
4) Возведение в степень.
Из операции умножения комплексных чисел следует, что
В общем случае получим:
,
Где N – целое положительное число.
Это выражение называется Формулой Муавра.
(Абрахам де Муавр (1667 – 1754) – английский математик)
Формулу Муавра можно использовать для нахождения тригонометрических функций двойного, тройного и т. д. углов.
Пример. Найти формулы sin2j и cos2j.
Рассмотрим некоторое комплексное число 
Тогда с одной стороны 
.
По формуле Муавра: 
Приравнивая, получим 
Т. к. два комплексных числа равны, если равны их действительные и мнимые части, то
Получили известные формулы двойного угла.
5) Извлечение корня из комплексного числа.
Возводя в степень, получим:
Отсюда: 
Таким образом, корень N – ой степени из комплексного числа имеет N различных значений.