(1) Объединение и пересечение линейных пространств.
- линейные пространства.
- конечные множества.
- число элементов в этих множествах.
Теорема 10: Пусть - линейные пространства. Тогда 
или 
.
Доказательство: Пусть 
.
Тогда:
- базис в 
- базис в 
Рассмотрим 
- базис в 
Если 
(входит), то
Изоморфизм линейных пространств.
Тезис: пространства одинаковой размерности неотличимы.
Пример: 
- полином степени 3.
Определение: пространства и Называются изоморфными, если между векторами и можно установить взаимно однозначное соответствие, причём должны выполняться следующие условия: если 
, то
1) 
2) 
- отображение, то есть это то соответствие, которое установлено.
- линейное отображение.
Теорема 11: Если 
, то и изоморфны.
Доказательство: Пусть 
- базис в, 
- базис в . Тогда выберем 
и 
:
- в 
выбираем соответствие 
, значит координаты вектора определены однозначно.
2) Рассмотрим в пространстве L два базиса:
Рассмотрим вектор 
Разложим старый базис по новому:
;
СБ - старый базис; СК - старые координаты.
НБ - новый базис; НК - новые координаты.
Итак: 
3) Системы линейных уравнений.
M уравнений, N неизвестных.
- матричная форма записи систем уравнений.
, I - фиксированный индекс.
Классификация.
Если 
и 
, (то есть существует 
), то это неоднородная система уравнений.
Если 
, то есть 
, то это однородная система уравнений.
О решениях.
Если :
1) Имеет решения, то система уравнений называется совместной.
2) Не имеет решений, то система уравнений называется несовместной.
Совестная: 