Теорема 12 (Кроникера-Капелли): Для того, чтобы система уравнений 
была совместной, необходимо и достаточно, чтобы 
.
Доказательство (необходимость):
Пусть система совместна. Докажем, что .
- линейная комбинация строк матрицы А.
Так как система совместна, то существует её решение 
- решения.
Столбец 
есть некоторая линейная комбинация столбцов матрицы А, то если 
, то и 
.
Доказательство (достаточность):
1) Пусть .
2) Докажем, что система совместна.
Итак, 
.
базисных столбцов в А являются базисными столбцами и для матрицы А.
вполне конкретны, следовательно, система совместна.
1) Формула Крамера.
Рассмотрим: , где А - квадратная, 
.
Пусть 
Тогда 
и равен 
, следовательно, система совместна и определённа.
Существует 
. Тогда 
2) Фундаментальная система решений - это совокупность частных линейно независимых решений.
Рассмотрим: 
- однородная система уравнений.
1) 
- всегда совместна.
2) Всегда существует нулевое 
или тривиальное решение.
Теорема 13: Однородная система уравнений с 
неизвестными имеет нетривиальное (ненулевое) решение тогда и только тогда, когда 
Доказательство:
Рассмотрим: . 
. Имеем задачу на определение линейной зависимости столбцов матрицы А. Если столбцы 
Линейно зависимы, то существует 
. Тогда это 
- решение . Так как линейно зависимы, то
Фундаментальная система решений.
Пример 1:
; 
- Частные решения. 
. Значит существует нетривиальное решение. Найдём в матрице А базисный минор:
- линейная комбинация базисных столбцов матрицы А.
- линейно независимы.
- решение в общем виде.
- решение.
Найдём частное решение:
; N-p случаев.
N-p частных линейно независимых решений.
Определение: Совокупность частных линейно независимых решений образуют фундаментальную систему решений.
Определение: общее (полное решение 
представляет собой всевозможные линейные комбинации фундаментальной системы решений.
- линейная оболочка.
О. Р. - однородное(или общее) решение.
Свойства:
1) 
, то 
- неоднородное решение.
, то 
- однородное решение.
Ч. Р. - частное решение.
- частное (любое) решение неоднородного уравнения.
Общее решение неоднородной системы уравнений равно сумме решения однородной системы уравнений и любого частного решения неоднородной системы уравнений.