Рассмотрим L – линейное пространство.
- Сколько в L линейно независимых векторов.
- Какой из смысл.
Определение: Линейное пространство L называется N-мерным, а число N – размерностью, если в L существует N линейно независимых векторов, причём любые N+1 векторов линейно зависимы.
Определение: В N-мерном линейном пространстве L любая совокупность(система) N линейно независимых векторов называется базисом.
,
- базисные векторы.
Определение: если 
- базис в 
, то для любого 
существуют числа 
: 
. Это разложение вектора по базису.
Теорема 8: В данном базисе координаты вектора определены однозначно
Доказательство(от противного): Пусть в базисе 
два набора чисел для вектора 
Так как 
линейно независимы, то все 
Если в L существует любое число линейно независимых векторов, то L называется бесконечномерным линейным пространством.
Примеры базисов:
1) 
2) 
Базис Вейля
3) 
.
4) 
Подпространство и линейная оболочка
Пусть
L – множество
M – подмножество
Кроме того
L – линейное пространство
Тогда M – подпространство в L, если
Рассмотрим систему векторов 
.
Определение: Линейной оболочкой системы векторов называется множество всевозможных линейных комбинаций этих векторов. То есть: 
. Очевидно, что 
и является подпространством.
Пример: найти размерность и базис линейной оболочки 
, где
линейно независимы.
Операции над линейными пространствами.
- линейные пространства.
А) 
Б) 
А) Что такое 
.
Определение: линейное пространство L является прямой суммой 
и 
, если: выполняется одно из условий:
1) 
2) 
Теорема 9: Для того, чтобы , достаточно, чтобы
1) 
2)
Тогда чтобы доказать, что, необходимо доказать, что 
- базис в L.
Рассмотрим:
Тогда 
.
Так как 
, то 0=0
