Определение 1: Ранг матрицы – это число её линейно независимых строк.
Рассмотрим минор порядка R: 
Матрицы А 
.
Определение 2: Рангом матрицы называется наивысший порядок минора матрицы, отличный от нуля.
Теорема 5(о базисном миноре):
1. Тот минор 
, такой, что 
называется базисным. Строки и столбцы в базисном миноре называются базисными.
Теорема 5:
1) Базисные строки линейно независимы.
2) Любая строка матрицы является линейной комбинацией базисных строк.
Доказательство 1: Предположим, что базисные строки линейно зависимы, тогда по теореме 4 одна из строк является линейной комбинацией остальных. Но так как , а это базисный минор, то вычитая из данной строки эту линейную комбинацию, получаем нулевую строку, следовательно 
, следовательно базисные строки линейно независимы.
Доказательство 2:
Рассмотрим 
; 
Строка 
есть линейная комбинация базисных строк.
Свойства 
:
1) 
2) 
3) 
, если 
Доказательство первого утверждения(свойства):
N строк линейно независимы
Так как в 
мы получаем N линейно независимых комбинаций строк 
, то очевидно, что число независимых строк возрастёт.
Доказательство 3-го утверждения(свойства):
Если 
, то из первого утверждения: 
, а из второго утверждения 
, значит 
Элементарные преобразования:
1) Перестановка строк
2) Умножение строки на любое число, не равное нулю
3) Прибавление к элементам данной строки элементов других строк, умноженных на любое число.
Свойство: при элементарных преобразованиях ранг матрицы не меняется.
Теорема 6: Для того, чтобы 
, необходимо и достаточно, чтобы её строки были линейно независимы.
Доказательство (необходимость): Если 
, то строки линейно независимы. Так как 
, то среди строк имеется 
число линейно независимых строк, следовательно, совокупность всех строк является линейно независимой системой.
Доказательство (достаточность): Если строки линейно зависимы, то . Действительно, так как строки линейно зависимы, то одна из них есть линейная комбинация остальных. Тогда вычитая из этой строки данную линейную комбинацию, мы получаем нулевую строку, следовательно, .
Линейное пространство.
Рассмотрим множество L, произвольной природы.
Рассмотрим две операции элементов из L:
Определение: Множество 
называется линейным пространством, если в нём определены две операции – сложение и умножение и выполняется 8 аксиом(основных свойств):
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
Линейное пространство над полем вещественных, комплексных чисел определяет соответственно вещественное или комплексное линейное пространство.
Линейное пространство является также и группой.
Примеры:
1) 
- множество является линейный пространством при введении операций сложения и умножения.
1) 
2) 
3) 
4) 
R – группа относительно операции сложения.
5) 
6) 
7) 
8) 
- группа относительно операции умножения
2) 
3) 
- множество матриц порядка 
4) 
- множество полиномов степени не выше, чем 
.
5) 
- множество функций, определённых и непрерывных на отрезке 
.
6) 
- нуль мерное пространство
Линейная зависимость
Пусть L – линейное пространство
- линейная комбинация векторов
- вектор 
есть линейная комбинация векторов.
Определение: система векторов 
называется линейно независимой, если их нулевая линейная комбинация 
выполняется только при 
. Если же среди 
существуют ненулевые элементы, то система линейно зависима.
Теорема 7: Для того, чтобы система была линейно зависимой, необходимо и достаточно, чтобы один из них линейно выражался через остальные(аналог теоремы 4).