(1) Образ 
Определение: множество векторов 
вида 
, где 
называется образом линейного оператора .
Свойство 4: 
- подпространство в 
.
Докажем: пусть 
и 
, тогда и 
, 
Если и 
, то 
и 
Тогда если 
, то
Теорема 18: пусть 
и 
- подпространства в 
: 
Тогда 
и 
Доказательство: Пусть 
- базис в и 
- базис в , 
- базис в , 
Определим оператор следующим образом:
Рассмотрим некоторый вектор
, то 
Свойство 5
А) 
имеет место 
Б) если 
, то есть 
, то 
и 
В) если 
, то
2) Если 
, то у существует 
.
(2) Рассмотрим 
- подпространство.
Определение: называется инвариантным подпространством в относительно действия оператора , если 
Если 
, то и образ 
также 
Примеры:
1) 
является инвариантным подпространством в относительно . 
инвариантно.
2) Всё пространство является инвариантным подпространством. 
по определению.
3) нуль мерное пространство 
. .
Рассмотрим одномерное инвариантное подпространство.
Рассмотрим вектор 
- линейная оболочка.
и 
, то 
, тогда - инвариантное подпространство.
Определение: вектор 
называется собственным вектором оператора , а 
- число, собственное значение данного вектора .
Теорема 19: всякий линейный оператор имеет по крайней мере один собственный вектор.
Доказательство: предположим, что собственный вектор существует. Тогда 
- матричное представление оператора .
- система 
однородных линейных уравнений 
.
Условие существования нетривиального решения: 
- характеристическое уравнение.
- характеристический полином.
Согласно основное теоремы алгебры уравнение 
имеет по крайней мере одно решение, корень.
- корень 
и 
- нетривиальное решение.
- существует.
Определение: множество собственных значений 
оператора называется его спектром.
Определение: Матрицы 
и 
называются подобными, если существует матрицы невырожденная.
- матрицы подобны
(теорема 17)
Свойства подобных матриц.
1) 
2) 
3) 
У подобных матриц спектры совпадают.