(1) Оператор 
1. Сложение 
2. Умножение на числа 
3. Умножение операторов 
Свойства:
1) 
2) 
3) 
4) 
5) 
6) 
7) 
8) 
9) 
Свойства 1-8 соответствуют аксиомам линейного пространства, следовательно множество линейных операторов образует линейное пространство.
(2) Матрица линейного оператора и её преобразование.
(преобразование)
- разложение по базису.
Определим: 
Всякому линейному оператору 
в некотором базисе 
соответствует матрица 
.
(матричное представление линейного оператора)
Пусть в 
заданы 2 базиса:
- старый базис.
- новый базис.
или 
- матрица перехода от старого базиса к новому.
Рассмотрим
: 
Теорема 17: матрицы 
и 
связаны соотношением 
. 
- матрица перехода от базиса 
к 
.
Доказательство: рассмотрим 
(3) Для каждого оператора 
существуют понятия, как:
Ядро: 
- Это подпространства в 
и 
.
Образ: 
-
Определение: множество тех векторов 
, для которых 
называется ядром линейного оператора.
, если 
.
Свойство 1: ядро линейного оператора образует линейное пространство в .
Пусть 
, то есть 
.
Тогда 
, поскольку 
Свойство 2
Однородная система уравнений.
Пусть 
- векторы фундаментальной системы решений.
Фундаментальная система решений есть базис ядра .
Свойство 3: если 
То у существует 
Решение 
тривиальное, когда 
или 
.
Тогда существует 
Свойство 4: Рассмотрим и 
Пример: 
