Вариант № 11

1. Найти область определения функции :.

Область определения данной функции определяется неравенством . Умножим неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: . Из левого неравенства находим или . Из правого неравенства . Объединяя результаты, получим: . Ответ: .

2. Построить график функции: .

Данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию: . Строим сначала . Затем «растягиваем» график в два раза по оси ОХ. Получим график функции . Затем переместим график вправо по оси ОХ на две единицы и повернем отрицательные части графика вверх зеркально по отношению к оси ОХ. Получим график данной функции.

Ответ: Последовательность построения представлена на рисунках.

3. Построить график функции: .

Данная функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию: . Строим сначала . Затем «сжимаем» график в два раза по оси ОХ и сдвигаем его по оси ОХ на 0,5 единицы влево. Получим график функции . Затем отобразим весь график вверх зеркально по отношению к оси ОХ и «поднимем» его по оси ОУ вверх на одну единицу. Получим график данной функции. Ответ: Последовательность построения представлена на рисунках.

4. Построить график функции: .

Исключим параметр T: . Складывая равенства, получим: . Это уравнение эллипса с большой полуосью 5 и малой полуосью 3: . Ответ: График функции представлен на рисунке.

5. Построить график функции: .

Поскольку , то функция существует для тех значений φ, для которых . Это наблюдается при или или . В этом интервале функция возрастает от 0 до 1 (при ), затем убывает от 1 до 0. Можно перейти к декартовым координатам. Тогда получим уравнение окружности , радиус которой равен 1/2, а центр находится в точке Ответ: График представлен на рисунке.

6. Вычислить предел: .

Воспользуемся формулой для суммы геометрической прогрессии: , где A1 – первый член прогрессии, а Q – знаменатель прогрессии. Тогда числитель равен , а знаменатель - . Следовательно,

. Ответ: .

7. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители:

.

Ответ: .

8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение, получим: . Разложим знаменатель как разность кубов: .

Ответ: .

9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Сделаем замену:

. Тогда

.

Ответ: .

10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).

Приведём предел ко второму замечательному пределу: :

. Предел в квадратных скобках равен числу E. Рассмотрим предел в показателе степени: . Следовательно, .

Ответ: .

11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Преобразуем предел: . Но Ex-1~X и sin(X/2)~X/2. Поэтому . Ответ: .

12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения – все действительные числа, кроме X=2. В точке X=2 функция имеет разрыв, во всех других точках является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва: . Таким образом, в точке X=2 имеют место устранимый разрыв. Полагая , можно считать функцию непрерывной на всей числовой оси. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: . Ответ: В точке X=2 функция имеет устранимый разрыв, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на три интервала, на каждом из которых функция F(X) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точками разрыва могут быть только точки, разделяющие интервалы. Вычислим односторонние пределы:

. Таким образом, в точке X=−1 функция непрерывна, а в точке X=1 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке X=1 равна -1.

Ответ: В точке X=1 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

14. Исходя из определения производной, найти :

.

По определению . Заменим ΔX на X-X0:

. Но , поэтому . В данном случае . Но arctg(T) ~T, при T→0 . Поэтому

. Ответ: Производная не существует.

15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: . Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда Y:

. Ответ: .

16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :

. Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:

. Найдём производные и :

.Тогда . Далее, , следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и . Можно перейти к полярной системе координат: действительно, - полярный угол. Тогда полярный радиус точки равен: . Получили уравнение гиперболы в полярных координатах: или . Можно перейти к декартовым координатам:

.

Ответ:

17. Функция Y(X), заданная неявно уравнением , принимает в точке Значение . Найти .

Дифференцируем уравнение по X, предполагая, что Y= Y(X): . Или . Из этого равенства находим: . Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке: . Ответ: , , .

18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .

По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ:

19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (00). Преобразуем предел:

. Найдём предел в показателе степени:

. Следовательно, .

Ответ: .

20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (∞∙0):

. Ответ: .

21. Многочлен по степеням X представить в виде многочлена по степеням : .

Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .

Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .

Ответ: .

22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки X0 с точностью до : .

Применяем формулу Тейлора:

.

Вычисляем последовательно:

.

Ответ:

23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .

Найдём значения функции и её первых четырёх производных в заданной точке:

. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (1, 2) функция ведёт себя как степенная функция четвёртой степени. Точка (1, 2) является точкой минимума функции.

24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

По формуле Тейлора . Подставим это в предел: .

Ответ: .

25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .

Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничных точках области определения: , . Отсюда следует, что прямые и являются вертикальными асимптотами. Исследуем функцию при :

.

Следовательно, прямая является наклонной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.

26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: .

1. Область определения: . 2. Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. 3. Функция непрерывна в области определения. Вертикальных асимптот нет.

4. . Найдём наклонные асимптоты: . Следовательно, наклонных асимптот нет. 5. Первая производная . Производная обращается в нуль в точке . В точке производная не существует. При производная , следовательно, функция возрастает, при производная - функция убывает, при производная , следовательно, функция возрастает. Точка является точкой максимума функции, причём . Точка является точкой минимума функции, причём .

6. . Вторая производная обращается в нуль в точке . В точке вторая производная не существует. Имеем три интервала: в интервале производная - интервал выпуклости, в интервале производная - тоже интервал выпуклости графика функции, в интервале производная - интервал выпуклости. Точка перегиба - . 7. График функции пересекает ось координат ОХ в точке , а ось координат ОУ – в точке . Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремум в точке - максимум, экстремум в точке - минимум. Точка перегиба - .

< Предыдущая		Следующая >