Вариант № 12

1. Найти область определения функции :.

Область определения данной функции определяется следующими неравенствами: , т. е. , , т. е. . Далее, знаменатель не должен обращаться в нуль: или или . Объединяя результаты, получим: . Ответ: .

2. Построить график функции: .

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки . Если , то . В точке график функции пересекает обе оси координат. Если , то . Вычисляем значения функции в нескольких точках:

-4	-2	-1	-0.5	0.5	1	1.5
-2/3	-1/2	-1/3	-1/5	1/3	1	3
1.8	2.2	2.5	3	4	8
9	11	5	3	2	2/3

По всем данным строим график. Ответ: График представлен на рисунке.

3. Построить график функции: .

Область определения функции: или . Преобразуем функцию: . Строим сначала . Затем «растягиваем» график в два раза по оси ОХ и сдвигаем его по оси ОХ на одну единицы влево. Получим график данной функции. Ответ: Последовательность построения представлена на рисунках.

4. Построить график функции: .

Функция периодическая с периодом 2π. Действительно, функция достигает максимумов в точках . При этом , так как . Составим таблицу координат нескольких точек графика в первом периоде:

T	0	π/6	π/4	π/3	π/2
X	0	0.024	0.078	0.181	0.571
Y	1	0.866	0.707	0.5	0
T	2π/3	3π/4	5π/6	π	7π/6
X	1.228	1.649	2.118	3.142	4.165
Y	-0.5	-0.707	-0.866	-1	-0.866
T	5π/4	4π/3	3π/2	5π/3	7π/4
X	4.634	5.055	5.712	6.102	6.205
Y	-0.707	-0.5	0	00.5	0.707

График периодичен. Поэтому нет необходимости вычислять координаты точек в других периодах. По точкам строим график и отражаем его симметрично в другие периоды.

Ответ: График представлен на рисунке.

5. Построить график функции: .

Поскольку , то функция существует для тех значений φ, для которых . Это наблюдается при . В этом интервале функция возрастает от 0 до 3 (при ), затем убывает от 3 до 0. Вертикальная ось пересекается графиком в точках (-π/2, 3) и (3π/2, 0.5). Можно перейти к декартовым координатам. Тогда получим уравнение . Ответ: График представлен на рисунке.

6. Вычислить предел: .

Возведём все скобки в степени и приведём подобные:

.

Ответ: .

7. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители:

. Ответ: .

8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Вычислим предел, используя замену переменной:

. Ответ: .

9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Воспользуемся заменой переменной и первым замечательным пределом: : .

Ответ: .

10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).

Приведём предел ко второму замечательному пределу: :

,

Так как . Ответ: .

11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Воспользуемся эквивалентными величинами:

|. Ответ: .

12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения – все действительные числа, кроме X=−1. В точке X=−1 функция имеет разрыв, во всех других точках является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва: . Таким образом, в точке X=−1 имеют место разрыв второго рода. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: . Ответ: В точке X=−1 функция имеет разрыв второго рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на три интервала, на каждом из которых функция F(X) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точками разрыва могут быть только точки, разделяющие интервалы. Вычислим односторонние пределы:

. Таким образом, в точке X=0 функция непрерывна, а в точке X=2 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке X=2 равна -7. Ответ: В точке X=2 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

14. Исходя из определения производной, найти :

.

По определению . Заменим ΔX на X-X0:

. Но , поэтому . В данном случае . Но ln(1+T) ~T, при T→0 . Поэтому

. Ответ: .

15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: . Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда Y:

. Ответ: .

16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :

.

Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:

. Найдём производные и : .

Тогда . Далее, , следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и .

Ответ:

17. Функция Y(X), заданная неявно уравнением , принимает в точке Значение . Найти .

Дифференцируем уравнение по X, предполагая, что Y= Y(X): . Или . Из этого равенства находим: . Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке: . Ответ: , , .

18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .

По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ:

19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (00). Преобразуем предел:

. Найдём предел в показателе степени:

. Следовательно, .

Ответ: .

20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (0∙∞):

. Ответ: .

21. Многочлен по степеням X представить в виде многочлена по степеням : .

Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .

Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .

Ответ: .

22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки X0 с точностью до : .

Применяем формулу Тейлора:

.

Вычисляем последовательно:

.

Ответ:

23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .

Найдём значение функции и её первых трёх производных в заданной точке:

. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (-1, -1) функция ведёт себя как кубическая функция. Точка (-1, -1) является точкой перегиба: слева - выпуклость, справа - вогнутость.

24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

По формуле Тейлора . Подставим это в предел:

. Ответ: .

25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .

Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничных точках области определения: . Отсюда следует, что прямые и являются односторонними вертикальными асимптотами. Исследуем функцию при : . Следовательно, прямая является горизонтальной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.

26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: .

1. Область определения: . 2. Функция нечётная, периодичность отсутствует. 3. Функция непрерывна в области определения. Вертикальных асимптот нет.

4. . Найдём наклонные асимптоты:

. Следовательно, прямая является наклонной асимптотой. 5. Первая производная . Производная обращается в нуль в точке . Производная остаётся отрицательной на всей числовой оси. Следовательно, функция монотонно убывает и экстремумов не имеет.

6. . Вторая производная обращается в нуль в точках и . В точке вторая производная не существует. Имеем четыре интервала: в интервале производная - интервал выпуклости, в интервале производная - интервал вогнутости графика функции, в интервале производная - интервал выпуклости, в интервале производная - интервал вогнутости графика функции. Точки перегиба - . 7. График функции пересекает оси координат в точке . Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремумов нет. Точки перегиба - .

< Предыдущая		Следующая >