Вариант № 13

1. Найти область определения функции :.

Область определения данной функции определяется двумя неравенствами и . Умножим первое неравенство на 3 и освободимся от знака модуля: . Из левого неравенства находим или . Из правого неравенства . Объединяя результаты, получим: . Ответ: .

2. Построить график функции: .

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки . Если , то . В точке график функции пересекает ось ОУ. Функция обращается в нуль в точке (-1, 0). Если , то . Вычисляем значения функции в нескольких точках:

-6	-4	-3	-2.5	-2.2	-1.8	-1.5
5/4	3/2	2	3	6	9	3
0.5	1	1.5	2	3	6
3/5	2/3	5/7	3/4	4/5	7/8

По всем данным строим график. Ответ: График представлен на рисунке.

3. Построить график функции: .

Функция определена на всей числовой оси, кроме точек, для которых . Преобразуем функцию: . Строим сначала . Затем «сжимаем» график в два раза по оси ОХ и сдвигаем его по оси ОХ на π/6 единиц вправо. Получим график данной функции. Ответ: Последовательность построения представлена на рисунках.

4. Построить график функции: .

Исключим параметр T, умножая X на Y: . Получили уравнение гиперболы , асимптотами которой являются координатные оси. Однако надо учесть, что , т. е. или . С другой стороны . Строим график гиперболы для (x, y) из указанной области.

Ответ: График представлен на рисунке.

5. Построить график функции: .

Перейдём к декартовой системе координат, учитывая, что . Получим: или или . Получили уравнение прямой, которая отсекает от осей координат соответственно отрезки 2 и 2/3.

Ответ: График представлен на рисунке.

6. Вычислить предел: .

Возведём все скобки в степени и приведём подобные:

. Ответ: .

7. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители:

. Ответ: .

8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к знаменателю выражение: .

Ответ: .

9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Сделаем замену переменной: . Получим: . Здесь воспользовались первым замечательным пределом: . Ответ: .

10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).

Приведём предел ко второму замечательному пределу: : . Ответ: .

11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Воспользуемся эквивалентными величинами:

|. Ответ: .

12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения – все действительные числа, кроме X=1. В точке X=1 функция имеет разрыв, во всех других точках является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в окрестности точки разрыва: . Таким образом, в точке X=1 имеют место разрыв первого рода. Скачок в точке разрыва равен -0,5. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: . Ответ: В точке X=1 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на три интервала, на каждом из которых функция F(X) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точками разрыва могут быть только точки, разделяющие интервалы. Вычислим односторонние пределы:

. Таким образом, в точке X=1 функция непрерывна, а в точке X=−1 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке X=−1 равна 1. Ответ: В точке X=−1 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

14. Исходя из определения производной, найти :

.

По определению . Заменим ΔX на X-X0:

. Но , поэтому . В данном случае , так как всегда.

Ответ: .

15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: . Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда Y:

. Ответ: .

16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :

.

Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты: . Найдём производные и :

.

Тогда . Далее, , следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и . Ответ:

17. Функция Y(X), заданная неявно уравнением , принимает в точке Значение . Найти .

Дифференцируем уравнение по X, предполагая, что Y= Y(X): . Из этого равенства находим: . Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке: . Ответ: ,

, .

18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .

По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ:

19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (00). Преобразуем предел:

. Найдём предел в показателе степени: . Следовательно, . Ответ: .

20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (0/0):

. Ответ: .

21. Многочлен по степеням X представить в виде многочлена по степеням : .

Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .

Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .

Ответ: .

22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки X0 с точностью до : .

Применяем формулу Тейлора:

.

Вычисляем последовательно:

.

Ответ:

23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .

Найдём значение функции и её первых четырёх производных в заданной точке:

. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (-1, 1) функция ведёт себя как степенная четвёртой степени. Точка (-1, 1) является точкой максимума.

24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

Заметим, что По формуле Тейлора . Подставим это в предел:

. Ответ: .

25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .

Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничных точках области определения:

. Отсюда следует, что прямые и являются вертикальными асимптотами. Исследуем функцию при :

. Следовательно, прямые и являются наклонными асимптотами. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.

26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: .

1. Область определения: . 2. Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. 3. Функция непрерывна в области определения. Вертикальных асимптот нет.

4. . Найдём наклонные асимптоты:

. Следовательно, имеется только односторонняя (правая) горизонтальная асимптота . 5. Первая производная . Производная в нуль не обращается. В точке производная не существует. Производная остаётся отрицательной на всей числовой оси. Следовательно, функция монотонно убывает и экстремумов не имеет.

6. . Вторая производная обращается в нуль в точке . В точке вторая производная не существует. Имеем три интервала: в интервале производная - интервал вогнутости графика функции, в интервале производная - интервал выпуклости, в интервале производная - интервал вогнутости графика функции. Точки перегиба - . 7. График функции не пересекает осей координат, во всех точках . Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремумов нет. Точки перегиба - .

< Предыдущая		Следующая >