Вариант № 14

1. Найти область определения функции :.

Область определения данной функции определяется неравенством . Найдём корни знаменателя: . Так как ветви параболы направлены вверх, то при . Дробь будет положительной, если одновременно , т. е. . Отсюда находим первый интервал: . Далее, при или . Дробь будет положительной, если одновременно , т. е. . Отсюда находим второй интервал: . Точки, в которых знаменатель обращается в нуль, исключаем. Ответ: .

2. Построить график функции: .

Функция определена в интервале на множестве . Функция обращается в нуль в точках (-5, 0) и (5, 0). Преобразуем функцию при X>4: . Сначала строим график функции , затем сдвигаем его по оси ОХ на 4 единицы, затем отображаем полученную ветвь графика в левую полуплоскость симметрично по отношению к оси ОУ. Ответ: График представлен на рисунке.

3. Построить график функции: .

Функция определена на всей числовой оси. Преобразуем функцию: . Строим сначала . Затем «растягиваем» график в два раза по оси ОХ и сдвигаем его по оси ОХ на 6 единиц вправо.

Получим график функции . Затем отображаем график зеркально по отношению к оси ОХ. Получим график данной функции. Ответ: Последовательность построения представлена на рисунках.

4. Построить график функции: .

Исключим параметр T:

. Получили уравнение параболы с вершиной в точке (0, -1), ветви которой направлены вверх. Область определения функции - (-1, 1), так как всегда . Графиком функции является часть параболы.

Ответ: График представлен на рисунке.

5. Построить график функции: .

Функция существует при т. е. . Это наблюдается при , т. е. и при т. е. . Функция возрастает в интервале (0, π/4) от 0 до 1, затем убывает в интервале (π/4, π/2) от 1 до 0. Аналогично изменяется функция в интервале . Ответ: График представлен на рисунке.

6. Вычислить предел: .

Возведём все скобки в степени и приведём подобные:

.

Ответ: .

7. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители:

. Ответ: .

8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Умножим числитель и знаменатель на сопряжённое к числителю выражение:

.

Ответ: .

9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Сделаем замену переменной: . Получим: . Здесь воспользовались первым замечательным пределом: . Ответ: .

10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).

Приведём предел ко второму замечательному пределу: : . Ответ: .

11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Воспользуемся эквивалентными величинами:

|.

Ответ: .

12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения – все действительные числа, кроме X=0 и X=−2. В области определения функция является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в окрестности точек разрыва: . Аналогично,

. Таким образом, в точках X=0 и X=−2 имеют место разрывы второго рода. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: . Ответ: В точках X=0 и X=−2 имеют место разрывы второго рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на три интервала, на каждом из которых функция F(X) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точками разрыва могут быть только точки, разделяющие интервалы. Вычислим односторонние пределы:

. Таким образом, в точке X=2 функция непрерывна, а в точке X=0 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке X=0 равна −1. Ответ: В точке X=0 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

14. Исходя из определения производной, найти :

.

По определению . Заменим ΔX на X-X0:

. Но , поэтому . В данном случае , следовательно, производная не существует.

Ответ: не существует.

15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: . Берём производную, как производную неявной функции:

. Подставляем сюда Y:

.

Ответ: .

16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :

.

Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:

. Найдём производные и :

. Тогда . Далее,

, следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и .

Ответ:

17. Функция Y(X), заданная неявно уравнением , принимает в точке Значение . Найти .

Дифференцируем уравнение по X, предполагая, что Y= Y(X): . Из этого равенства находим: . Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке: . Ответ: ,

, .

18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .

По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ:

19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (∞0). Преобразуем предел:

. Найдём предел в показателе степени: . Следовательно, . Ответ: .

20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (0∙∞):

. Ответ: .

21. Многочлен по степеням X представить в виде многочлена по степеням : .

Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .

Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .

Ответ: .

22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки X0 с точностью до : .

Применяем формулу Тейлора:

.

Вычисляем последовательно:

.

Ответ:

23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .

Найдём значение функции и её первых трёх производных в заданной точке:

. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (0, 0) функция ведёт себя как кубическая функция. Точка (0, 0) является точкой перегиба: слева – вогнутость, справа - выпуклость.

24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

По формуле Тейлора . Далее, . Подставим это в предел: . Ответ: .

25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .

Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничных точках области определения: , . Отсюда следует, что прямые и являются вертикальными асимптотами. Исследуем функцию при :

. Следовательно, прямая является наклонной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.

26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: .

1. Область определения: . 2. Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. 3. Функция непрерывна в области определения. Вертикальных асимптот нет.

4. . Найдём наклонные асимптоты: . Следовательно, имеется наклонная асимптота . 5. Первая производная . Производная обращается в нуль в точке . В точке производная не существует. Производная остаётся отрицательной на всей числовой оси. Следовательно, функция моно-

Тонно убывает и экстремумов не имеет.

6. . Вторая производная обращается в нуль в точке . В точке вторая производная не существует. Имеем три интервала: в интервале производная - интервал вогнутости графика функции, в интервале производная - интервал выпуклости, в интервале производная - интервал вогнутости графика функции. Точки перегиба - . 7. График функции пересекает ось ОХ в точке (2, 0), а ось ОУ – в точке (0, 2). Ответ: График функции представлен на рисунке, экстремумов нет. Точки перегиба - .

< Предыдущая		Следующая >