Решение
Строим график функции 
Строим график функции 
- сжатие графика в 4 раза по оси оХ
Строим график функции 
- перенос вправо на 2
Строим график функции 
- растяжение графика в 3 раза по оси оУ
Решение
А) 
Б)
В) 
Использовали: 
при 
Г) 
Использовали второй замечательный предел:
.
Решение
Найдем левый и правый пределы в точке 
.
Правый предел конечен и равен 0, а левый предел бесконечен. Следовательно, по определению точка разрыва второго рода.
Найдем левый и правый пределы в точке 
.
, т. е. точка непрерывности функции 
.
Сделаем схематический чертеж.
Решение
Функция 
непрерывна для 
, функция 
непрерывна в каждой точке из 
, функция 
непрерывна в каждой точке интервала 
.
Точки, в которых функция может иметь разрыв, это точки 
и 
, где функция меняет свое аналитическое выражение.
Исследуем точку .
, 
, 
.
Таким образом, точка есть точка непрерывности функции 
.
Исследуем точку 
.
, 
, 
.
Таким образом, односторонние пределы существуют, конечны, но не равны между собой. По определению, исследуемая точка – точка разрыва первого рода. Величина скачка функции в точке разрыва равна 
.
Сделаем схематический чертеж
Решение
А)
Б) 
В) 
Г) 
Прологарифмируем заданную функцию и найдём производные от левой и правой частей:
Тогда 
Д) 
Здесь функция 
задана неявным образом. Дифференцируем обе части равенства по 
, 
Выразим из этого выражения 
:
.
Откуда 
Решение
А) 
Б) Найдем 
; 
.
Следовательно, 
.
Вторая производная
Решение
Значение 
принадлежит отрезку 
, следовательно
При имеем
Ответ: 
Решение
Исследуем функцию, заданную формулой: 
на интервале 
Область определения: множество всех действительных чисел
Найдём производную заданной функции:
Первая производная: 
Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.
, 
, 
;
Тогда 
, 
.
Критические точки: , .
В интервал попадает только одна критическая точка:
Найдём значение функции в критических точках и на концах интервала .
, 
, 
Получили 
, 
Решение
Решение
Исследуем функцию, заданную формулой: 
Область определения: 
Найдём первую производную:
=
=
=
=
Первая производная: 
Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение. 
Случай 1: х=0
Случай 2: х-2=0, х=2
Критические точки: х=0, х=2
Найдём вторую производную:
Вторая производная это производная от первой производной.
=
=
=
=
=
=
=
Вторая производная: 
Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение. 
Возможные точки перегиба: нет
Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю. 
,
Точки пересечения с осью х: х=0
Точки пересечения с осью у: у=0
Пусть х=0, 
Определим значения аргумента, при которых знаменатель функции обращается в ноль. 
, 
Вертикальные асимптоты:
Горизонтальные асимптоты: нет.
Для нахождения наклонных асимптот преобразуем исходное выражение. 
=
=
Предел разности исходной функции и функции х+1 на бесконечности равен нулю.
Наклонные асимптоты: у=х+1 .
Точки разрыва: х=1
Симметрия относительно оси ординат: нет
Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x). 
Симметрия относительно начала координат: нет
Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x). 
Тестовые интервалы:
Результаты исследования функции занесем в таблицу.
Относительные экстремумы:
Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+). Относительный минимум 
.
Проходя через точку максимума. производная функции меняет знак с (+) на (-). Относительный максимум 
.
Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.
Используя результаты исследования функции, построим ее график.
