Решение
Строим график функции 
Строим график функции 
- сжатие графика в 
раза по оси оХ
Строим график функции 
- перенос влево на 1
Строим график функции 
- сжатие графика в 
раза по оси оУ
Решение
А) 
Б) 
В) 
Использовали: 
при 
Г) 
Использовали второй замечательный предел:
.
Решение
Найдем левый и правый пределы в точке 
.
Правый предел конечен и равен 0, а левый предел бесконечен. Следовательно, по определению точка разрыва второго рода.
Найдем левый и правый пределы в точке 
.
, т. е. точка непрерывности функции 
.
Сделаем схематический чертеж.
Решение
Функция 
непрерывна для 
, функция 
непрерывна в каждой точке из 
, функция 
непрерывна в каждой точке интервала 
.
Точки, в которых функция может иметь разрыв, это точки 
и 
, где функция меняет свое аналитическое выражение.
Исследуем точку .
, 
, 
.
Таким образом, односторонние пределы существуют, конечны, но не равны между собой. По определению, исследуемая точка – точка разрыва первого рода. Величина скачка функции в точке разрыва 
равна 
.
Исследуем точку .
, 
, 
. Таким образом, точка 
есть точка непрерывности функции 
.
Сделаем схематический чертеж
Решение
А) 
Б) 
В) 
Г) 
Прологарифмируем заданную функцию и найдём производные от левой и правой частей: 
Тогда 
Д) 
Здесь функция 
задана неявным образом. Дифференцируем обе части равенства по 
, 
Выразим из этого выражения 
: 
.
Откуда 
.
Решение
А) 
Б) Найдем 
; 
.
Следовательно, 
.
Вторая производная
Решение
Ответ: 
Решение
Исследуем функцию, заданную формулой: 
на интервале 
Область определения: множество всех действительных чисел
Найдём производную заданной функции:
=
=
Первая производная: 
Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение.
, 
, 
;
Случай. х=0.
Случай., х=-1, х=1.
Критические точки: х=-1, х=0, х=1
В интервал попадает только две критические точки: 
Найдём значение функции в критических точках и на концах интервала .
, 
, 
Получили 
, 
Решение
Решение
Исследуем функцию, заданную формулой: 
Область определения: множество всех действительных чисел
Найдём первую производную:
=
=
=
=
=
=
=
Первая производная: 
Для нахождения критических точек приравняем первую производную к нулю и решим полученное уравнение. 
, х=0
Критические точки: х=0
Найдём вторую производную:
Вторая производная это производная от первой производной.
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
Вторая производная: 
Для нахождения возможных точек перегиба приравняем вторую производную к нулю и решим полученное уравнение.
, 
, 
, 
.
Возможные точки перегиба:
Для нахождения точек пересечения с осью абсцисс приравняем функцию к нулю. 
, 
, 
.
Точки пересечения с осью х: х=-1, х=1
Точки пересечения с осью у: у=-1. Пусть х=0, 
Вертикальные асимптоты: нет. Наклонные асимптоты: нет.
Для нахождения горизонтальных асимптот преобразуем исходное выражение. 
=
=
Горизонтальные асимптоты: у=1 .
Предел данной функции на бесконечности равен числу 1.
Точки разрыва: нет
Симметрия относительно оси ординат: функция четная, график симметричен относительно оси.
Функция f(x) называется четной, если f(-x)=f(x).
=
=
==
Симметрия относительно начала координат: нет
Функция f(x) называется нечетной, если f(-x)=-f(x).
Тестовые интервалы:
Результаты исследования функции занесем в таблицу. 
Относительные экстремумы:
Проходя через точку минимума, производная функции меняет знак с (-) на (+). Относительный минимум 
.
Данные таблицы нанесем на координатную плоскость.
Используя результаты исследования функции, построим ее график.
Множество значений функции: 
Наименьшее значение: 
Наибольшее значение: нет