Дифференцирование элементарных функций
Знание производных элементарных функций и правил дифференцирования позволяет выполнять эту операцию в конкретных случаях. Выведем соответствующие формулы:
1. 
(
=const).
Воспользуемся определением производной:
.
Итак, 
.
2. 
– степенная функция (где 
– действительное число).
Дадим аргументу 
Приращение 
. Тогда
,
Где
Здесь мы воспользовались эквивалентностью (глава 9):
Таким образом,
В частности, по этой формуле будем иметь:
3. 
– логарифмическая функция.
Рассмотрим приращение функции 
, вызванное приращением аргумента в точке X:
.
По определению производной получим:
Где
Таким образом,
В частности,
4. 
– показательная функция.
Воспользуемся связью производных прямой и обратной функций:
Но из cоотношения следует, что
Значит,
Поэтому
Итак,
Интересен факт:
При каждом значении X скорость изменения функции y=
совпадает с ее значением в данной точке. Это уже отмечалось при рассмотрении второго замечательного предела. Другой такой функции не существует.
5. Тригонометрические функции:
.
Итак, воспользовавшись первым замечательным пределом и непрерывностью функции 
, имеем:
Аналогично рассуждая, получим:
Правило дифференцирования дроби дает:
Рабочая формула принимает вид:
Проводя аналогичные преобразования, получим:
Найдем производные обратных тригонометрических функций:
Так как
То
Перед знаком корня берем знак плюс, так как функция 
принимает значения 
для которых 
неотрицателен. Поэтому
|
Постройте графики некоторых функций и их производных в соответствующих областях определения. Существуют ли какие-то геометрические закономерности, вытекающие из взаимного расположения графиков? |
Аналогично:
