Мi B
А
х
xi
Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных.
Разобьем дугу АВ на n частей точками M0, M1, M2, … , Mn. Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты xi и yi. При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна DPi. Эта площадь может быть найдена по формуле:
Здесь DSi – длина каждой хорды.
Применяем теорему Лагранжа (см. Теорема ЛАгранжа.) к отношению 
.
Получаем: 
Тогда 
Площадь поверхности, описанной ломаной равна:
Эта сумма не является интегральной, но можно показать, что
Тогда 
- формула вычисления Площади поверхности тела вращения.