(1) Теорема 23: собственные векторы Эрмитова оператора ортогональны, а собственные значения вещественны.
Доказательство:
1) Пусть 
- собственный вектор 
; 
Рассмотрим: 
- вещественное число.
2) 
- собственные векторы оператора Ф
Рассмотрим 
(2) 
- оператор
Определение: оператор называется унитарным, если выполняется условие:
Либо
Либо
Аналогично для матриц.
Если 
- унитарная матрица, то 
Свойства унитарного оператора
1) Унитарный оператор сохраняет скалярное произведение.
Рассмотрим 2 вектора 
и 
, тогда можно получить ещё два вектора: 
и 
.
- скалярное произведение
- скалярное произведение.
2) Унитарный оператор сохраняет длины векторов.
В случае, когда - вещественна, имеем:
Если 
, то называется ортогональной.
Тогда 
3) Если ортогональны, то и 
и 
также ортогональны.
4) Если 
- базис в 
.
- также базис.
для 
5) Собственные значения унитарного оператора по модулю равны 1. 
(3) Билинейные квадратичные формы.
Функция 
переменных
Определение:
- билинейная функция (форма), если - линейна по 
и по 
, то есть выполняется 4 условие.
Если 
(комплексные числа), то - полуторалинейная форма.
Общий вид билинейной формы:
- матрица билинейной формы
Пусть 
- симметрична
Рассмотрим случай, когда 
- квадратичная форма
- квадратичная форма
Классификация квадратичных форм:
1) Если 
для всех 
, то квадратичная форма называется положительно определённой.
2) Если 
для всех , то квадратичная форма называется отрицательно определённой.
3) Если 
для всех , то квадратичная форма называется знаконеопределённой.
Критерий Сильвестра:
1) Если все 
, то квадратичная форма положительно определена.
2) Если все 
, то квадратичная форма отрицательно определена.
3) Во всех других случаях квадратичная форма знаконеопределена.
Виды квадратичных форм:
В различных базисах квадратичная форма имеет различный вид.
Матрица 
квадратичной формы преобразуется при переходе к другому базису по закону 
(вспомним, что 
).
1) 
- общий вид.
2) 
- канонический вид.
3) 
- нормальный вид.
Сигнатура (знак): 
- сигнатура.
Евклидово пространство: 
Трёхмерное пространство: 
Пространство Минковского (четырёхмерное): 
, 
, 
, 
.