Задача 1.
Составить уравнение касательной плоскости к поверхности
Указание
Уравнение касательной плоскости к поверхности
В точке (Х0, Y0, Z0) имеет вид:
Решение
Подставим эти значения в уравнение касательной плоскости:
Ответ: 
Задача 2.
Составить уравнение касательной плоскости к поверхности
В точке (1,2,-1).
Указание
Найдите частные производные Z по Х и У как производные неявной функции:
Решение
Уравнение касательной плоскости:
Ответ: 
Задача 3.
Составить уравнения нормали к поверхности
В точке (0,4,2).
Указание
Будем называть нормалью прямую, проходящую через данную точку перпендикулярно касательной плоскости, проведенной через эту точку. Тогда канонические уравнения нормали выглядят так:
Решение
Следовательно, канонические уравнения нормали:
Ответ:
Задача 4.
Найти производную функции
И точке М(2,-4) по направлению вектора MN, если N(-1,-8).
Указание
Производная функции Z = F (X, Y) в точке (Х0, У0) по направлению L, заданному вектором А = (Ха, Уа, Za), имеет вид:
Направляющие косинусы направления L.
Решение
Ответ: 9,2.
Задача 5.
Найти производную функции
В точке (3,2,1) по направлению, образующему с координатными осями равные тупые углы.
Указание
Причем
Решение
Найдем направляющие косинусы направления L, используя свойство направляющих косинусов:
(поскольку косинус тупого угла отрицателен).
Тогда
Ответ: 
Задача 6.
Найти градиент функции
В точке А(6,10,-5).
Указание
Воспользуйтесь формулой
Решение
Ответ: 