1 Многочлен 
расположить по целым неотрицательным степеням 
.
Решение. Введем новую переменную 
. Тогда
.
Возвращаясь к переменной 
, получим
.
2 Представить функцию 
многочленом 
-й степени в окрестности точки 
и оценить погрешность.
Решение. 1 способ. Находим последовательно 
производную для данной функции:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| |
|
|
|
|
|
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
.Тогда формула Тейлора для функции в окрестности точки примет вид
,
Где 
, 
.
Преобразуя полученное выражение, имеем
.
Многочлен Тейлора функции имеет вид
.
Погрешность вычислений составит
,
Где 
, 
.
2 способ. Воспользуемся основным разложением в ряд Маклорена функции 
. Заменим в разложении на 
:
,
Где 
, .
3 Разложить по формуле Тейлора функцию 
в окрестности точки 
.
Решение. Воспользуемся основным разложением в ряд Маклорена функции 
. Заменим в разложении на 
,
Где .
4 Разложить по формуле Маклорена функцию
.
Решение. Поскольку
.
В разложение 5 с остаточным членом в форме Пеано при 
имеем
.
При замене переменной на 
, получаем
,
А при замене на 
:
Тогда
=
=
.
5 Вычислить число 
с точностью 
.
Решение. Разложение функции 
в ряд Маклорена имеет вид:
, .
Заменив функцию 
многочленом Тейлора степени , получим приближенное равенство
,
Абсолютная погрешность которого
, .
Если рассматривать функцию 
для 
, то
.
Полагая 
, получаем приближенное значение числа
.
Чтобы определить, сколько нужно взять первых членов этой формулы для получения заданной точности, оценим величину остаточного члена
.
Имеем 
. Отсюда 
или 
.
Следовательно, при 
получим вычисленное значение числа с заданной точностью
