Вариант № 22

1. Найти область определения функции :.

Область определения данной функции определяется двумя неравенствами и или . Умножим первое неравенство на 5 и освободимся от знака модуля: . Из левого неравенства находим или . Из правого неравенства . Объединяя результаты, получим: . Ответ: .

2. Построить график функции: .

Данная функция определена на всей числовой оси, кроме точки . Преобразуем функцию: . График симметричен относительно прямой . Построим график функции для . Сначала строим график функции , затем сдвигаем его по оси OX на 2 единицы вправо и на 1 единицу вверх по оси OY. Отобразим вторую половину графика зеркально относительно прямой , затем части графика, расположенные ниже оси OX, перевернём зеркально в верхнюю полуплоскость. Получим график заданной функции.

Ответ: Последовательность построения показана на рисунках.

3. Построить график функции: .

Область определения функции: . Преобразуем функцию: . Получили уравнение прямой. Кроме того, обнаружилось, что точка является точкой устранимого разрыва. Точки пересечения с осями координат (-2, 0) и (0, 2/7).

Ответ: График представлен на рисунке.

4. Построить график функции: .

Исключим параметр T: . Складывая эти два равенства, получим: . Это уравнение эллипса с полуосями в 2 и в 5 единиц.

Ответ: График представлен на рисунке.

5. Построить график функции: .

Поскольку , то функция существует для тех значений φ, для которых . Это наблюдается при всех значениях φ. Функция убывает от 2 при до 1 при ), далее до 0 (при ).Левая половина графика представляет зеркальное отражение правой половины относительно вертикальной оси. Полярная ось пересекается графиком в точках (0, 1) и (π, 1). Можно перейти к декартовым координатам. Тогда получим уравнение . Ответ: График представлен на рисунке.

6. Вычислить предел: .

Возведём обе скобки в степени и приведём подобные:

. Ответ: .

7. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Разлагаем числитель и знаменатель на простые множители:

. Ответ: .

8. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Умножим числитель и знаменатель на выражение, сопряжённое по отношению к чис-

Лителю: .

Ответ: .

9. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Сделаем замену переменной и воспользуемся первым замечательным пределом: : . Тогда

. Ответ: .

10. Вычислить предел: (неопределённость вида (1∞)).

Приведём предел ко второму замечательному пределу: : . Предел в квадратных скобках равен числу e. Предел показателя степени равен . Следовательно, . Ответ: .

11. Вычислить предел: (неопределённость вида (0/0)).

Сделаем замену переменной: . Тогда

|.

Ответ: .

12. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения: . В области определения функция является непрерывной (как элементарная функция). Исследуем поведение функции в граничных точках области определения: . Таким образом, в точках X=1 функция имеет разрыв второго рода. Для построения эскиза графика функции рассмотрим поведение функции в бесконечности: .

Ответ: В точках X=1 функция имеет разрыв второго рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

13. Исследовать функцию на непрерывность и построить эскиз графика: .

Область определения функции: . Ось ОХ разбивается на два интервала, на каждом из которых функция F(X) совпадает с одной из указанных непрерывных функций. Поэтому точкой разрыва может быть только точка, разделяющая интервалы. Вычислим односторонние пределы:

. Таким образом, в точке X=1 функция терпит разрыв первого рода. Величина скачка функции в точке X=1 равна -2.

Ответ: В точке X=1 функция имеет разрыв первого рода, в остальных точках она непрерывна. Эскиз графика представлен на рисунке.

14. Исходя из определения производной, найти :

.

По определению . Заменим ΔX на X-X0:

. Но , поэтому . В данном случае , так как всегда. Ответ: .

15. Найти производную показательно-степенной функции: . Прологарифмируем функцию: . Берём производную, как производную неявной функции: . Подставляем сюда Y: .

Ответ: .

16. Составить уравнения касательной и нормали к кривой в данной точке, вычислить :

.

Уравнения касательной и нормали к кривой имеют вид:

и , где и - координаты точки касания. Вычислим сначала эти координаты:

. Найдём производные и :

.Тогда . Далее, , следовательно, . Таким образом, уравнение касательной , уравнение нормали . Или и .

Ответ:

17. Функция Y(X), заданная неявно уравнением , принимает в точке значение . Найти .

Дифференцируем уравнение по X, предполагая, что Y= Y(X):

. Из этого равенства находим:

. Находим вторую производную: . Вычислим производные в точке : . Ответ: ,

, .

18. Вычислить приближённое значение функции в заданной точке с помощью дифференциала: .

По определению дифференциала или, в других обозначениях, . Отсюда получаем формулу для приближённых вычислений: . В данном случае . Тогда . Ответ:

19. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (1∞). Преобразуем предел:

. Найдём предел в показателе степени:

. Следовательно,

. Ответ: .

20. Вычислить предел с помощью правила Лопиталя: .

Это неопределённость вида (0∙∞):

. Ответ: .

21. Многочлен по степеням X представить в виде многочлена по степеням : .

Запишем формулу Тейлора для многочлена четвёртой степени: .

Найдём все производные: , . Тогда . Подставив это в формулу, получим: .

Ответ: .

22. Найти многочлен, приближающий заданную функцию в окрестности точки X0 с точностью до : .

Применяем формулу Тейлора:

.

Вычисляем последовательно:

.

Ответ: .

23. Исследовать поведение функции в окрестности точки с помощью формулы Тейлора: .

Найдём значения функции и её первых трёх производных в заданной точке:

. По формуле Тейлора . Ответ: В окрестности точки (1, 1) функция ведёт себя как степенная функция третьей степени. Точка (1, 1) является точкой перегиба: слева – интервал вогнутости, справа – интервал выпуклости графика функции.

24. Вычислить предел с помощью формулы Тейлора: .

По формуле Тейлора . Далее, . Подставим это в предел:

. Ответ: .

25. Найти асимптоты и построить эскиз графика функции: .

Область определения функции: . Функция непрерывна в каждой точке области определения. Найдём односторонние пределы в граничной точке области определения: . Отсюда следует, что прямая является вертикальной асимптотой. Исследуем функцию при : . Ищем наклонные асимптоты в виде : . Следовательно, прямая является наклонной асимптотой. Ответ: Эскиз графика представлен на рисунке.

26. Провести полное исследование поведения функции и построить её график: .

1. Область определения: . 2. Чётность, нечётность, периодичность отсутствуют. 3. Функция не имеет разрывов. Вертикальных асимптот нет.

4. . Ищем наклонные асимптоты в виде : . Следовательно, наклонных асимптот нет.

5. Первая производная . Производная обращается в нуль в точке . В точке производная не существует. Имеем три интервала: при производная отрицательна – функция монотонно убывает; при производная положительна - функция монотонно возрастает, при производная отрицательна - функция монотонно убывает. Следовательно, точка является точкой минимума, причём , точка является точкой максимума, причём .

6. Вторая производная: . Вторая производная обращается в нуль в точке и не существует в точке . Имеем три интервала: в интервале производная - график функции вогнутый; в интервале производная - график функции выпуклый; в интервале производная - график функции выпуклый. Следовательно, точка является точкой перегиба. 7. График функции пересекает ось OX в точке (1, 0).

Ответ: График функции представлен на рисунке, максимум функции – в точке ,

Минимум функции – в точке , точка перегиба – (-1/5, максимум функции – в точке .

< Предыдущая		Следующая >