Вар.12
Задача 1: Найти область определения функции 
. Нарисовать область на координатной плоскости.
Область определения функции 
, т. е. границей области определения данной функции будут прямые 
и 
. Точки на самих прямых не входят в область определения.
Задача 2: Найти частные производные и полный дифференциал 
Задача 3: Вычислить значения частных производных 
функции 
в точке 
Задача 4: Вычислить значение производной сложной функции 
, где 
при 
При 
Задача 5: Вычислить значения частных производных функции 
, заданной неявно, в заданной точке 
или 
; 
В точке 
: 
Задача 6: Найти градиент функции 
и производную по направлению 
в точке
; 
;
Задача 7: Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности 
в точке 
Уравнение касательной плоскости: 
или 
Уравнение нормали: 
Задача 8: Найти вторые частные производные функции 
. Убедиться в том, что 
; 
Значит 
Задача 9: Проверить, удовлетворяет ли функция 
уравнению:
; 
Подставляем полученные значения производных в исходное уравнение:
Следовательно, функция удовлетворяет данному уравнению.
Задача 10: Исследовать функцию на экстремум 
; 
Т.
- стационарная точка
и 
т. - точка минимума
Задача 11: Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
в области 
, ограниченной заданными линиями 
1) 
Т.
- стационарная точка
; 
; 
В т. - нет экстремума
2) Исследуем значения функции на границах области :
а) сторона АС:
т.
- стационарная точка на
стороне АС, но т.
В т.
:
и в т.
:
в) сторона АОС: 
на АОС стационарные
точки
:
и:
Сравнивая все полученные значения, в которых могут достигаться наибольшее и наименьшее значения, видим, что:
;
Задача 12: Найти условный экстремум функции 
при 
не обращается в нуль ни в одной точке прямой
Составим функцию Лагранжа: 
; 
, т. е. т.
- стационарная точка
Выясним наличие условного экстремума двумя способами:
1) 
В т. 
функция имеет условный минимум в т. и 
2) Рассмотрим т. при 
. Имеем 
;
В т.: 
Значит:
т.
- точка условного минимума