Вар.13
Задача 1: Найти область определения функции 
. Нарисовать область на координатной плоскости.
Область определения функции 
, т. е. областью определения будут первый и третий квадрант координатной плоскости X0Y, включая оси 0X и 0Y, кроме начала координат 
.
Задача 2: Найти частные производные и полный дифференциал 
Задача 3: Вычислить значения частных производных 
функции 
в точке 
Задача 4: Вычислить значение производной сложной функции 
, где 
при 
При 
Задача 5: Вычислить значения частных производных функции 
, заданной неявно, в заданной точке 
или 
; 
В точке: 
Задача 6: Найти градиент функции 
и производную по направлению 
в точке
Задача 7: Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности 
в точке 
Уравнение касательной плоскости: 
или 
Уравнение нормали: 
Задача 8: Найти вторые частные производные функции 
. Убедиться в том, что 
; 
;
Значит 
Задача 9: Проверить, удовлетворяет ли функция 
уравнению:
;
Подставляем полученные значения производных в исходное уравнение:
Следовательно, функция удовлетворяет данному уравнению.
Задача 10: Исследовать функцию на экстремум 
; 
Т.
- стационарная точка
и 
т. - точка минимума
Задача 11: Найти наибольшее и наименьшее значения функции 
в области 
, ограниченной заданными линиями 
1) 
Т.
- стационарная точка
; ; 
и 
В т. - минимум
2) Исследуем значения функции на границах области :
а) сторона ОА:
т.
- стационарная точка на
стороне ОА 
б) сторона ОВ:
т.
- стационарная точка на
стороне ОВ 
в) сторона АВ: 
на АВ стационарная
точка
: 
Сравнивая все полученные значения, в которых могут достигаться наибольшее и наименьшее значения, видим, что:
;
Задача 12: Найти условный экстремум функции 
при 
не обращается в нуль ни в одной точке кривой
Составим функцию Лагранжа: 
; 
Система имеет 2 решения:
1) 
, т. е. т.
2) 
, т. е. т.
Выясним наличие условного экстремума двумя способами:
1) 
В т.
и при 
: 
функция имеет условный максимум в т. 
и 
В т.И при 
: 
функция имеет условный минимум в т. и 
2) Рассмотрим т.
при
. Имеем 
; 
; 
В т.
при: 
Значит:
т.
- точка условного максимума
Рассмотрим т.
при 
. Имеем
; 
; 
В т.
при : 
Значит:
т.- точка условного минимума