Перед выполнением контрольной работы № 1 необходимо изучить и закрепить с помощью примеров для самостоятельной работы такие разделы и понятия как определители и их свойства; способы вычисления определителей второго и третьего порядков; алгебраические дополнения элемента определителя; вычисление определителей 4-го и более высоких порядков с помощью свойств определителя; матрицы и основные операции над ними, понятие обратной матрицы; элементарные преобразования над элементами строк (столбцов) матрицы; ранг матрицы и способы его вычисления; теорема Кронекера - Капелли; методы решения систем линейных алгебраических уравнений.
Задание 1.
Для данного определителя 
найти миноры и алгебраические дополнения элементов 
. Вычислить определитель : а) разложив его по элементам I-ой строки; б) разложив его по элементам J-го столбца; в) получив предварительно нули в I-ой строки.
I = 1, J = 2
Решение: 1. Находим миноры к элементам 
и 
. Миноры являются определителями третьего порядка, которые могут быть вычислены, например, по правилу треугольника (правилу Саррюсса).
Алгебраические дополнения элементов 
и 
соответственно равны:
2. а). Вычислим определитель, разложив его по элементам первой строки:
Б) Вычислим определитель, разложив его по элементам второго столбца:
В) Вычисли определитель 
, Получив предварительно нули в первой строке. Используем свойство определителей: определитель Не ИЗмеНиТся, ЕСлИ ко всЕМ эЛеМентам кАКой-либо строки (столбца) прибавить СоотВЕтстВУющие эЛеМЕНтЫ другой строки (столбца), умноженНЫе на одно И то же произвольное число. Умножим третий столбец определителя на 3 и прибавим к первому, затем умножим на (-2) и прибавим ко второму. Тогда в первой строке все элементы, кроме одного, будут нулями. Разложим полученный таким образом опредЕЛитель по элемЕНтам первой строки и вычислим его:
В опрЕДЕЛитЕЛе трЕТьЕГо порядка получили нули в ПеРвом столбце по тому же свойству определителей.
Ответ: 
, 
Задание 2.
Даны две матрицы A и B. Найти: а) AB; б) BA; в) 
; г) 
.
Решение: а) Произведение АВ имеет смысл, так как число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В. Находим матрицу С=АВ, элементы которой определяются по формуле
.
В результате применения этой формулы, получим:
Б) Вычислим произведение матриц BA:
ОчЕВидНО, что 
, т. е. переместительное свойство умножений матриц не выполняется.
В) Обратная матрица 
матрицы А имеет виД
Где 
,
Т. е. матрица A - Невырожденная, и, значит, существуЕТ матрица .
Найдем алгебраические дополнения к элементам матрицы A:
Тогда обратная матрица
;
Г) Найдем произведение матрицы A и (тем самым можем убедиться, что обратная матрица найдена верно), используя формулу записанную в пункте а):
Ответ: а)
, б) 
,
В) 
.
Задание 3 (1).
Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса.
Решение: Совместность данной системы проверим по теореме Кронекера - Капелли. С помощью элементарных преобразований найдем ранг матрицы
Данной системы и ранг расширенной матрицы
Для этого умножим первую строку матрицы В на (-2) и сложим со второй, затем умножим первую строку на (-3) и сложим с третьей, поменяем местами второй и третий столбцы. Получим
.
Так как 
, то по теореме Кронеккера-Капелли система совместна. Так как 
, то есть ранг системы равен числу неизвестных, то исходная система имеет единственное решение.
А) Найдем решение системы по формулам Крамера
,
Где определитель системы , составленный из коэффициентов уравнений системы при неизвестных,
,
И определители 
, полученные из определителя заменой первого, второго и третьего столбцов соответственно на столбик свободных членов
,
,
,
Тогда 
.
Б) Решим систему методом Гаусса. Исключим 
из второго и третьего уравнений. Для этого первое уравнение умножим на 2 и вычтем из второго, затем первое уравнение умножим на 3 и вычтем из третьего:
Из полученной системы применяя "обратный ход" находим 
.
Проверим найденное решение. Для этого подставим значения неизвестных в уравнения исходной системы
Получили верные равенства.
Ответ: .
Задание 3 (2).
Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса.
Решение: ПровЕРяем совместность системы с помощью теоремы Кронекера - Капелли. В расширенной матрице
МЕНяЕМ трЕТий и первыЙ столбцы мЕСтамИ, умножаем пЕРвую строку на 3 и прибавляЕМ ко второй, умножаем первую строку на 2 и прибавляем к третьей, ИЗ второй строки вычИТаЕМ третью:
.
Теперь ясНО, что 
и 
. СОгЛАсно Теореме Кронекера - Капелли, из того, что 
следует НеСовместность ИСходнОЙ системы.
Ответ: система не совместна.
Задание 4(1).
Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.
,
Поэтому система ИМЕЕт единственное нулевое (тривиальное) решенИЕ: 
Ответ: 
.
Задание 4(2).
Решить однородную систему линейных алгебраических уравнений.
Решение: Первый способ. Так как определитель системы
,
То однородная система ИМЕЕт бЕСчисленное множество решений. Поскольку (показать самостоятельно или привести обоснование этому утверждению) и 
, то возьмем первые два уравнения системы и найдем ее рЕШение, считая переменную 
свободной переменной, то есть некоторой произвольной постоянной. ИмЕеМ:
Так как определитель из коэффициентов при неизвестных и 
не равен нулю, то в качестве базисных нЕИзвестных ВОзьмЕМ и (хотя можно брать и другие пары нЕИзвЕСтных) И ПеРЕМЕСтим члЕНы с в правые частИ УравнЕНИЙ:
РЕШаЕМ пОСлЕдНюю систЕМу по формулам КрамЕРа :
Где
,
,
.
Отсюда находим, что 
Полагая 
, где K—Произвольный коэффициент пропорциональности (произвольная постоянная), получаем решение исходной сИСтЕМы: 
, 
, 
.
Решение: Второй способ. Найдем ранг матрицы A системы.
Для этого в матрице A переставим местами первую и вторую строку. Умножив первую строку на (-3), сложим ее со второй строкой. Умножив первую строку на (-4), сложим ее с третьей строкой. Далее умножим вторую строку на (-1) и сложим ее с третьей строкой. Вычеркиваем третью строку состоящую из нулевых элементов.
Отсюда получаем: 
. Число неизвестных . Так как 
, то исходная однородная система является неопределенной, то есть кроме тривиального имеет и другие решения.
Используя матрицу полученную на последнем шаге нахождения ранга матрицы, запишем систему, соответствующую этой матрице.
Для нахождения решений полученной системы и соответственно исходной системы разобьем переменные на базисные (основные) и свободные (не основные). Число основных переменных равно рангу матрицы системы 
, то есть их будет две. В качестве базисных переменных выбираем первые две переменные записанной выше системы. Таким образом, в качестве базисных переменных выбираем переменные и . Число свободных переменных равно 
. В нашем случае это оставшаяся переменная .
Выразим базисные переменные через свободные, считая свободную переменную произвольной постоянной. Для этого в начале из второго уравнения выразим переменную через .
,
,
.
Подставим переменную в первое уравнение системы и выразим из него вторую базисную переменную через свободную переменную .
Таким образом, Аналогично как и в первом способе, полагая , где K – произвольный коэффициент пропорциональности (произвольная постоянная), получаем решение исходной системы: , , .
Проверим найденное решение. Для этого подставим значения неизвестных 
в уравнения исходной системы
Получили верные равенства.
Ответ: 
.