Контрольная работа по математике
Задание 1. Найти общее решение (общий интеграл) дифференциального уравнения первого порядка.
3. 
Решение
Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением. Будем искать решение уравнения в виде произведения двух функций: 
. После этой подстановки данное уравнение примет вид: 
Вынесем за скобки U :
(1)
Найдем Одну из функций V, такую, чтобы выражение в скобках обратилось в нуль: 
. Это уравнение будет с разделяющимися переменными. Решим его.
Подставим найденную функцию в уравнение (1).
Т. к. Y = Uv, то 
- общее решение данного уравнения.
Ответ: 
Задание 2. Найти частное решение уравнения второго порядка, допускающее понижение порядка и удовлетворяющее указанным начальным условиям.
13. 
, 
Решение
Дано дифференциальное уравнение второго порядка, явно не содержащее Х, следовательно, оно допускает понижение порядка с помощью подстановки 
.
После применения подстановки получим уравнение: 
, которое является уравнением с разделяющимися переменными. Решим его.
Так как и 
, то 
. Тогда имеем 
Так как 
, то 
- это тоже уравнение с разделяющимися переменными, интегрируем его:
Так как 
, то 
.
Окончательно, 
Ответ:
Задание 3. Дано линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Найти частное решение, удовлетворяющее указаным начальным условиям.
23. 
, 
Решение
Правая часть ЛНДУ с постоянными коэффициентами является многочленом первой степени 
. Найдем сначала У оо - общее решение соответствующего ему линейного однородного дифференциального уравнения:
Составим и решим характеристическое уравнение: 
Þ 
, следовательно,
Будем искать Учн в виде многочлена первой степени с неопределенными коэффициентами, если ноль является корнем характеристического уравнения кратности R. 
. Но так как K = 0 является корнем характеристического уравнения, то R=1, и тогда окончательно 
.
Поскольку У чн - решение данного уравнения, то при подстановке У чн в это уравнение вместо У получим тождество. Предварительно найдем 
и 
. 
; 
Подставим 
, , в данное уравнение:
, 
Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях Х слева и справа в последнем уравнении, получим систему уравнений относительно А, В, С:
Таким образом, 
.
Тогда имеем : 
.
Чтобы найти частное решение исходного уравнения, удовлетворяющее начальным условиям , найдем 
: 
Получим систему уравнений для нахождения С1 и С2:
Подставив найденные С1 и С2, получим: 
.
Ответ: 
Задание 4. Исследовать сходимость ряда.
33. 
Решение
Здесь 
, 
.
По признаку Даламбера ряд сходится, поскольку
.
Ответ: сходится.
Задание 5. Дан степенной ряд 
. Найти интервал сходимости ряда и выяснить вопрос о сходимости ряда на концах интервала. Значения а, b, k даны:
43. 
Решение
Имеем ряд 
.
Имеем : un=
; un+1=
Радиус сходимости R находим по формуле : R= 
Тогда R=
Следовательно, на основании теоремы Абеля, исходный ряд абсолютно сходится в интервале 
или 
. Исследуем сходимость ряда на концах интервала ходимости.
Пусть x= 
. Тогда получим ряд : 
. Этот знакочередующийся ряд сходится по признаку Лейбница. В самом деле, 
; 
, т. е. члены ряда убывают по абсолютной величине. Следовательно, при x= ряд сходится условно.
Пусть x= 
. Тогда, получим ряд : 
– ряд Дирихле при 
он расходится.
Итак, заданный ряд сходится в области
абсолютно, при x= ряд сходится условно.
Задание 6. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другогою Вероятность отказа любого элемента в течение часа равна 0,002. Найти вероятность того, что за час откажут 4 элемента.
Решение
Для вычисления вероятности того, что в n испытаниях (n – велико) событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:
– среднее число появлений события в n испытаниях.
По условию дано: 
.
Искомая вероятность 
Ответ: 
Задание 7. Задан закон распределения случайной величины Х (в первой строке таблицы даны возможные значения величины Х, а во второй строке указаны вероятности р этих возможных значений). Найти: 1) математическое ожидание М(х); 2) дисперсию Д(х); 3) среднее квадратическое отклонение:
|
Х |
24 |
26 |
28 |
30 |
|
Р |
0,2 |
0,2 |
0,5 |
0,1 |
Решение
Найдем числовые характеристики случайной величины:
1) М(Х)= 
= x1р1 + x2р2+…+ xnрn
M(X)=24•0,2+26•0,2+28•0,5+30•0,1=4,8+5,2+14+3=27
2) D(X)= 
= x21р1 + x22р2+…+ x2nрn –(M(X))2
D(X)=242 •0,2+262•0,2+282•0,5+302•0,1-272=115,2+135,2+392+90-729=3,4
3) 