Примеры решения типовых задач по теории дифференциальных уравнений

Задача 41. Найдите общее решение уравнения 2хуDx+(Y2-X2)Dy=0.

Решение. Данное уравнение является однородным, так как коэффициенты при Dx И Dy суть однородные функции одного и того же измерения (второго) относительно переменных Х и У. Применяем подстановку У=хT, где T – некоторая функция аргумента Х.

Если У=хT, то дифференциал Dy=D(Xt)=Tdx+Xdt, и данное уравнение примет вид

Сократив на Х2, будем иметь:

Мы получили уравнение с разделенными переменными относительно Х и T. Интегрируя, находим общее решение этого уравнения:

Потенцируя, находим , или . Из введенной подстановки следует, что . Следовательно, или - общее решение данного уравнения.

Задача 42. Найти общее решение уравнения .

Решение. Данное уравнение является линейным, так как оно содержит искомую функцию У и ее производную У’ в первой степени и не содержит их произведений.

Применяем подстановку У=Uv, где U и V – некоторые неизвестные функции аргумента Х. Если У=Uv, то Y’=(Uv)’=U’V+Uv’ и данное уравнение примет вид

Или

(1)

Так как искомая функция У представлена в виде произведения двух других неизвестных функций, то одну из них можно выбрать произвольно. Выберем функцию U так, чтобы выражение, стоящее в круглых скобках левой части равенства (1), обращалось в нуль, т. е. выберем функцию U так, чтобы имело место равенство

(2)

При таком выборе функции U уравнение (1) примет вид

(3)

Уравнение (2) есть уравнение с разделяющимися переменными относительно U И Х. Решим это уравнение:

(Чтобы равенство(2) имело место, достаточно найти одно какое-либо частное решение, удовлетворяющее этому уравнению. Поэтому для простоты при интегрировании этого уравнения находим то частное решение, которое соответствует значению произвольной постоянной С=0). Подставив в (3) найденное выражение для U, получим:. Интегрируя, получаем . Тогда - общее решение данного уравнения.

Задача 43. Дано уравнение: . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: У(0)=1; У’(0)=3.

Решение. Данное дифференциальное уравнение второго порядка не содержит явно функцию У. Положим У’=Р, где Р – некоторая функция аргумента Х. Если У’=Р, то и данное уравнение примет вид . Мы получили уравнение первого порядка относительно переменных Р и Х. Решим это уравнение:

Определим численное значение С1 при указанных начальных условиях. Имеем 3=С1(0+1). Следовательно, С1=3. Теперь решаем уравнение первого порядка :

Определим численное значение С2 при указанных начальных условиях. Имеем 1=0+0+С2; С2=1.

Таким образом, есть частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Задача 44. Дано уравнение . Найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям: У(-1)=4; У’(-1)=1.

Решение. Данное уравнение второго порядка не содержит явно аргумента Х. Положим У’=Р, где Р – некоторая функция переменной У. Если У’=Р, то . Тогда данное уравнение примет вид

Если приравнять нулю первый множитель, то получаем: Р=0; У’=0; У=С – решение данного уравнения.

Приравняем нулю второй множитель:

Используя начальные условия, находим С1:

Далее решаем уравнение :

Теперь определим значение С2:

Тогда

- искомое частное решение, удовлетворяющее указанным начальным условиям.

Задача 45. Решить систему уравнений и выделить частные решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям:

Решение. Обе части первого уравнения системы продифференцируем по переменной T:

В полученном уравнении заменим правой частью второго уравнения системы. В результате получим однородное линейное уравнение второго порядка:

(1)

Составим и решим соответствующее однородное линейное уравнение:

(2)

Характеристическое уравнение K2-K-6=0 имеет корни: K1=-2, K2=3. Следовательно, общее решение (2) имеет вид

Находим частное решение Х=АT+В. Дважды дифференцируя, получим (х)'=А, (х)’’=0. Подставив в (1), находим А=-3 и В=0. Следовательно, Х=-3T и

(3)

Из первого уравнения системы находим, что , или , откуда

(4)

Подставив начальные условия в (3) и (4), получим систему

С1+С2=1 и 3С1-2С2=3.

Решение этой системы дает С1=1 и С2=0. Следовательно,

- частные решения, удовлетворяющие заданным начальным условиям.

Задача 46. Найти первые три (отличные от нуля) члена разложения в ряд Маклорена функции У(х), являющиеся частным решением дифференциального уравнения У’=х+х2-у2+сOsХ, если У(0)=1.

Решение. Положим, что У(х) является решением данного дифференциального уравнения при указанных начальных условиях. Если У(х) допускает разложение в ряд Маклорена, то имеем

(1)

Свободный член разложения (1), т. е. У(0), дан по условию. Чтобы найти значения Y'(0), Y’’(0), Y’’’(0),…, можно данное уравнение последовательно дифференцировать по переменной Х и затем вычислить значения производных при Х=0.

Значение У’(0) получаем, подставив начальные условия в данное уравнение:

Подставив найденные значения производных при Х=0 в (1), получим разложение искомого частного решения заданного уравнения: