03.3. Шары в метрическом пространстве. Ограниченные множества. Предельные точки

Def: Шаром S(A, R) в метрическом пространстве Х с центром в точке а радиуса R Называется множество всех элементов ХÎХ удовлетворяющих условию r(A, X) < R

S(A, R) º {XÎX ½r(A, X) < R}.

Def: Множество элементов Х Называется ограниченным, если оно целиком принадлежит некоторому шару.

3°. Сходящаяся последовательность ограничена.

◀ Пусть limXn = Х0. Тогда "e > 0 $N "N > N XnÎS(X0, e). Рассмотрим S(Х0, R), где R = max{r(Х1, Х0), r(Х2, Х0), … , r(Хn, Х0), e} + e. Ясно, что "N > N XnÎS(X0, R), т. е. последовательность {Xn} ограничена. ▶

Def: Если дано МÌХ, то элемент ХÎХ Называется предельной точкой или Точкой сгущения Множества М, если "S(Х, e) $Х1ÎМ, Х1 ≠ Х такой, что Х1ÎS(х, e).

Def: Множество М с присоединенными к нему всеми предельными точками Называется замыканием множества М и обозначается .

Def: Множество М Называется замкнутым, если М =.

Рассмотрим предельные точки шара S(A, R) и покажем, что все они удовлетворяют требованию r(A, X) £ R. Допустим, что Х¢ предельная и r(A, X¢) > R. Тогда в окрестности точки Х¢ радиуса 0,5[r(A, X¢) – R] нет ни одной точки шара S(A, R) т. е. Х¢ Не предельная. Множество (A, R) º {XÎX ½r(A, X) £ R} Называется замкнутым шаром.

< Предыдущая		Следующая >