Лемма: Пусть 
и 
- аналитичная в 
такая, что 
и 
. Тогда 
и 
при этом, если 
или 
, то 
.
Доказательство: 
Возьмем 
и рассмотрим функцию 
. 
и 
аналитична в . Рассмотрим окружность 
, где 
по принципу максимума модуля 
, в силу того, что 
сколь угодно близок к единице: 
и 
, где 
- любая точка из . И в силу этого 
. Рассмотрим случай: 
, тогда 
и в силу принципа максимума модуля, так как 
достигает максимума во внутренней точке 
. Лемма доказана.
Обобщенная лемма Шварца: Пусть 
- аналитическая и ограниченная в 
такая, что 
и 
, тогда
1) 
и 
2) Верно 
3) Верно 
Доказательство: Пусть 
,
. Ясно, что 
и для 
. Следовательно, по лемме Шварца 
. Тогда (1): 
так как 
и 
. (2,3): По теореме Шварца если выполняется условие из (2) или (3), то 
. Лемма доказана..