Пусть ряд 
имеет радиус сходимости 
, тогда он будет сходиться равномерно и абсолютно на компактах внутри 
.
Это утверждение вытекает из того факта, что функция 
является аналитической и, следовательно, выполнены условия первой теоремы Вейерштрасса для рядов.
Следовательно,
1) сумма степенного ряда
является аналитической функцией в круге
2) Ряды производных сходятся равномерно к производной суммы ряда на компактах из круга :
