Пусть 
и функция 
определена в окрестности 
.
Опр: Если существует конечный 
, где 
- переменная, а выражение под знаком предела есть функция 
, определенная в окрестности нуля, то по определению этот предел есть Производная функции в точке : 
. Сама функция в данном случае называется Дифференцируемой в комплексном смысле.
Теорема Коши-Римана: Пусть определена в окрестности . Для существования производной в необходимо и достаточно:
1) 
и 
- дифференцируемы в вещественном смысле в точке 
2) выполняются Условия (C-R) Коши-Римана: 
В точке
При этом 
Доказательство: 
Необходимость: Пусть 
, или 
. Тогда обозначим 
- бесконечно малая величина. 
,
.
Здесь 
- бесконечно малая величина более высокого порядка, чем .
Тогда 
дифференцируемы в И существует полный дифференциал: 
откуда по определению полного дифференциала следует, что 
. Это и есть устолия (C-R). А также 
.
Достаточность: Пусть выполнены условия дифференцируемости функций и
и условия (C-R) 
.
Тогда 
Где бесконечно малые величины 
и 
более высокого порядка, чем 
. Далее имеем:
Тогда 
так как 
более высокого порядка, чем .
Теорема доказана.
Примечание: Свойства производных и производные элементарных функций остаются теми же, что и для вещественной производной.