Производные высших порядков
Операция дифференцирования может быть повторена, если производная функции снова является дифференцируемой функцией. Вторая производная для функции 
рассматривается как производная от ее первой производной:
И обозначается следующим образом:
Процесс дифференцирования может производиться и дальше, если в результате дифференцирования получаются функции, имеющие производные.
Например, найдем производные 
и 
для функции 
:
|
Приведите пример функции, имеющей в некоторой точке производные до пятого порядка включительно, но не имеющей производную более высокого порядка. |
Во многих случаях нахождение производных более высокого порядка сильно усложняется. Не всегда удается найти общую формулу вычисления производной N-го порядка без вычисления промежуточных производных. Нахождение такой формулы возможно только в некоторых случаях. Например, без особого труда удается найти производную N-го порядка функции
|
Как получена эта формула? |
Она имеет вид
.
Лейбниц сумел найти общую формулу для производной N-го порядка произведения функций:
Эта формула оказалась полезной во многих случаях при выводе общих выражений для N-й производной.
|
Исследуйте возможности доступных вам ЭВМ и программных продуктов к ним в отыскании производных N-го порядка. |
|
Пользуясь этой формулой, найдите
|
В настоящее время имеются эффективные программные продукты для ЭВМ, позволяющие не только получать приближенное численное значение производных различных порядков дифференцируемых функций в некоторых точках, но и их приближенное представление, например, в виде многочленов на отдельных промежутках.