Определение 6. Дифференциальное уравнение первого порядка (9.1) называется неполным, если функция F явно зависит только от одной переменной: либо от Х, либо от У.
Различают два случая такой зависимости.
1. Пусть функция F зависит только от Х. Переписав это уравнение в виде
Нетрудно убедиться, что его решением является функция
2. Пусть функция F зависит только от У, т. е. уравнение (9.1) имеет вид
Дифференциальное уравнение такого вида называется Автономным. Такие уравнения часто употребимы в практике математического моделирования и исследования природных и физических процессов, когда, например, независимая переменная Х Играет роль времени, не входящего в соотношения, описывающие законы природы. В этом случае особый интерес представляют так называемые Точки равновесия, или стационарные точки,— нули функции F(У), где производная У' = 0.
Решение уравнения (9.6) методом разделения переменных приводит к функциональному уравнению для определения неизвестной функции У = φ(X) (или Х = ψ(у)):
В общей теории дифференциальных уравнений развита теория качественного анализа, основанная на исследовании характера стационарных точек.