В этом разделе мы рассмотрим частный случай системы (15.1), когда число уравнений равно числу неизвестных, т. е. Т = N. Система уравнений имеет вид
Составим квадратную матрицу А порядка N этой системы:
1. В матричной форме система уравнений (15.5) имеет вид
Где матрицы Х и В имеют размер N х 1. Пусть матрица системы А является невырожденной, т. е. существует обратная матрица А-1. Умножив обе части этого уравнения слева на А-1, получаем решение системы (15.5) в матричной форме:
Вычисление обратной матрицы по заданной матрице А производится по довольно сложным формулам. В случае когда порядок N матриц А и А-1 достаточно велик, вычисление обратной матрицы может быть очень громоздким.
2. Другой метод решения системы уравнений (15.5) основан на теореме Крамера. Составим определитель матрицы системы А:
Который называется также Определителем системы. Заменим в этом определителе J-Й столбец на столбец свободных членов В, т. е. получим этой заменой другой определитель, который обозначим ΔJ:
ТЕОРЕМА 2 (правило Крамера). Пусть Δ — Определитель матрицы системы А, а ΔJ — Определитель, полученный из определителя Δ Заменой j-го столбца столбцом свободных членов В. Тогда если Δ ≠ 0, То система линейных уравнений (15.5) Имеет единственное решение, определяемое по формулам
Формулы вычисления неизвестных (15.6) — решения системы (15.5) — носят название Формул Крамера.
Пример 1. Найти решение системы уравнений
Решение. Составим и вычислим определители системы Δ и ΔJ (J = X, Y, Z):
Определитель системы отличен от нуля, стало быть, она имеет единственное решение, которое вычисляется по формулам (15.6):
