Определение 5. Скалярным произведением векторов (12.3) называется число, состоящее из суммы произведений соответствующих координат этих векторов:
Как мы видим, формально такое определение скалярного произведения двух векторов согласуется с аналогичным определением двух - и трехмерных векторов. Из данного определения следуют основные свойства скалярного произведения векторов:
1) 
= ;
2) (λ) = (λ) = λ(), где λ — действительное число;
3) (+
) = + ;
4) > 0, если ≠ 
, и = 0, если = .
Введем понятие модуля вектора (его длины) и угла между векторами в виде обобщения на случай П > 3.
Определение 6. Для векторов из N-мерного векторного пространства модуль вектора и угол φ между двумя ненулевыми векторами и определяются по формулам:
Укажем одно важное свойство векторов. Векторы и будем называть Ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:
Равенство (12.5) является аналогом условия перпендикулярности векторов в двух - и трехмерном случаях, когда в равенстве (12.4) cosφ = 0.