Рассмотрим типичную задачу нахождения экстремума функции нескольких переменных, возникающую в экономике.
Пусть X1, X2, …, Xт. — количества производимых Т разновидностей товара, а их цены — соответственно P1, P2, …, Pm (все Pi — постоянные величины). Пусть затраты на производство этих товаров задаются функцией издержек
Тогда функция прибыли имеет вид
Максимум прибыли естественно искать как условие локального экстремума функции многих переменных (8.11) при Xi ≥ 0 (при отсутствии других ограничений)
Это условие приводит к системе алгебраических уравнений относительно переменных Хi
Система уравнений (8.12) реализует известное правило экономики: предельная стоимость (цена) товара равна предельным издержкам на производство этого товара. Решениями этой системы уравнений являются наборы, состоящие из Т значений каждый. Нужно заметить, что сам процесс нахождения решения системы уравнений (8.12) зависит от вида функции издержек и может быть достаточно сложным.
Приведем конкретный пример. Пусть производятся два вида товаров, обозначим их количества через X и У. Пусть P1 = 8 и Р2 = 10 — цены на эти товары соответственно, а С = х2 + ху + У2 — функция затрат. Тогда согласно (8.11) при X1 = х, X2 = Y прибыль является функцией двух переменных:
Условия локального экстремума приводят к системе линейных алгебраических уравнений
Решением которой является точка (2,4). Поскольку
То найденная точка определяет локальный максимум функции прибыли, который равен Пmах = 28.