05.1. Применение производных в исследовании функций. Раскрытие неопределенностей. Правило лопиталя

Будем говорить, что отношение двух функций при X A Есть неопределенность вида , если

Раскрыть эту неопределенность означает вычислить предел , если он существует.

ТЕОРЕМА 1 (теорема Лопиталя*). Пусть функции F(X) и g(х) определены и дифференцируемы в некоторой окрестнос­ти точки а за исключением, быть может, самой точки a. Кроме того, пусть , причем g'(х) ≠ 0 в указанной окрестности точки а. Тогда если существует предел отношения (конечный или бесконечный), то существует и предел , причем справедлива формула

* Гийом Франсуа Антуан де Лопиталь — французский математик (1661 — 1704).

Эту теорему обычно называют Правилом Лопиталя.

Замечание 1. Правило Лопиталя можно применять повторно, если F'(X) и G'(х) удовлетворяют тем же требо­ваниям, что и исходные функции f(x) и g(х).

Замечание 2. Теорема остается верной и в случае, когда х (х ± ).

Теперь рассмотрим примеры.

Пример 1.

Здесь мы дважды последовательно применили правило Ло­питаля, поскольку два раза имели дело с неопределенностью вида .

Пример 2.

Пример 3.