Рассмотрим общее уравнение второго порядка (4):
И выясним, какие геометрические образы на плоскости могут задаваться этим уравнением.
1. Если собственные числа матрицы А L1 и L2 одного знака, уравнение (4) называется уравнением Эллиптического типа. Его можно привести к виду (5):
Которое, в свою очередь, преобразуется в следующую форму:
А) если 
Имеет тот же знак, что и L1,2, при делении на 
Получаем
Каноническое уравнение Эллипса.
Б) если =0, уравнение
Имеет единственное решение:
Определяющее Точку на плоскости.
В) если знак противоположен знаку L1,2, уравнение после деления на примет вид:
Множество его решений пусто (иногда это пустое множество называют Мнимым эллипсом).
2. Если собственные числа матрицы А L1 и L2 разных знаков, уравнение (4) называется уравнением Гиперболического типа.
А) при 
оно сводится к одному из двух видов:
В зависимости от знака 
. Оба этих уравнения определяют Гиперболу.
Б) При =0 получаем уравнение
Эквивалентное двум линейным уравнениям:
Задающим Пару пересекающихся прямых.
3. Если одно из собственных чисел равно 0, уравнение (4) называется уравнением Параболического Типа, и его можно привести к одному из следующих видов:
А) к уравнению
Определяющему Параболу;
Б) к уравнению
Задающему Пару параллельных прямых;
В) к уравнению
Определяющему Одну прямую (или пару совпадающих прямых);
Г) к уравнению
Не имеющему решений и, следовательно, не определяющему никакого геометрического образа.