Определение. Трансцендентными называются аналитические функции, которые не являются алгебраическими.
Если аргументом показательной или тригонометрических функций является комплексное число, то определение этих функций, вводимое в элементарной алгебре теряет смысл.
Рассмотрим разложение в степенной ряд следующих функций:
См. Представление функций по формуле Тейлора.
Функции ez, cosz, sinz связаны между собой формулой Эйлера (см. Уравнение Эйлера.) Эта формула может быть очень легко получена сложением соотвествующих рядов.
Также справедливы равенства:
Для тригонометрических функций комплексного аргумента справедливы основные тригонометрические тождества (синус и косинус суммы, разности и т. д.), которые справедливы для функций действительного аргумента.
Определение. Гиперболическим синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом Называются соответственно функции:
Гиперболические функции могут быть выражены через тригонометрические:
Гиперболические функции Sh Z И Ch Z имеют период 2pi, а функции Th Z и Cth Z – период pi.
Пример. Найти sin(1+2i).
Определение. Логарифмическая функция комплексного аргумента определяется как функция, обратная показательной.
Если W = U + Iv, то 
и Arg Ew =
= V.
Тогда Eu = 
.
Итого: 
Для комплексного числа Z = A + Ib 
Определение. Выражение 
называется Главным значением логарифма.
Логарифмическая функция комплексного аргумента обладает следующими свойствами:
1) 
2) 
3) 
4) 
Обратные тригонометрические функции комплексного переменного имеют вид:
