Пусть в плоскости XOY имеется круг радиуса R с центром в начале координат и на его окружности задана функция F(J), Где J - полярный угол.
Требуется найти функцию 
, которая удовлетворяет уравнению Лапласа
И при 
Запишем уравнение Лапласа в полярных координатах:
Полагаем 
Подставляя это соотношение в уравнение Лапласа, получаем:
Таким образом, имеем два уравнения:
Общее решение первого уравнения имеет вид: 
Решение второго уравнения ищем в виде: 
. При подстановке получим:
Общее решение второго уравнения имеет вид: 
.
Подставляя полученные решения в уравнение 
, получим:
Эта функция будет решением уравнения Лапласа при любом K ¹ 0.
Если K = 0, то 
следовательно 
.
Решение должно быть периодическим, т. к. одно и то же значение будет повторяться через 2p. (Тогда рассматривается одна и та же точка круга.) Поэтому В0 = 0.
Решение должно быть конечным и непрерывным, поэтому D0 = 0.
Окончательно получаем: 
При этом: 
Если подставить эти коэффициенты в полученную выше формулу и произвести упрощение, получаем окончательный результат решения задачи Дирихле, который называется Интегралом Пуассона.
(Симеон Дени Пуассон (1781 – 1840) – французский математик)
