Пусть А - квадратная матрица. Определение: Матрица В называется обратной левой матрицей по отношению к матрице А, если
Матрица 
С называется обратной правой по отношению к А, если
.
Убедимся, что если матрицы В и Е существуют, то они совпадают между собой. Действительно:
Таким образом правые и левые матрицы совпадают и они называются просто обратная матрица и обозначаются А-1. Вспомним оговорку “... если существует обратная матрица”. Какие условия следует наложить на матрицу А, чтобы существовала у неё обратная матрица?
Теорема. Для того, чтобы для матрицы А существовали левая и правая обратные матрицы, необходимо и достаточно, чтобы определитель det А матрицы А был отличен от нуля.
Необходимость: допустим матрица В существует. Тогда из соотношения АВ=Е следует: 
. Значит 
.
Здесь мы использовали свойство определителей: определитель произведения матриц равен произведению определителей этих матриц. Примем это без доказательства.
Достаточность. Пусть определитель detA=
. Составим следующую матрицу В:
Здесь через 
обозначены алгебраические дополнения соответствующих элементов 
.Убедимся, что она обратная. Умножим:
Эта сумма есть не что иное, как разложение определителя матрицы 
по первой строке, и значит, эта сумма =
.
Эта сумма является суммой произведений элементов второй строки матрицы А на алгебраические дополнения первой строки! Такое произведение равно нулю!
И т. д. В итоге, только на главной диагонали останутся ненулевые члены - они равны единице. Теорема доказана.
Эта теорема нам даёт правило нахождения обратной матрицы. Надо составить вспомогательную матрицу, состоящую из алгебраических дополнений, транспонировать её и умножить на число 
.
Очевидные следствия из определения обратной матрицы:
Действительно: 
Т. е. матрица АВ - обратная для матрицы В-1А-1.