Линейным оператором, действующим из линейного пространства H в линейное пространство H1 , называется отображение, удовлетворяющее условиям:
Примеры линейных операторов
1. Определим 
, 
: 
, его линейность очевидна, оператор называется единичным.
2. В гильбертовом пространстве L2([A,B]) определим оператор, сопоставляющий функции 
, новую функцию 
Множество линейных операторов действующее из 
в 
образуют линейное пространство.
Определение. Оператор 
непрерывен в точке X0, если из 
следует 
.
Оператор 
называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке.
Множество называется ограниченным, если оно содержится в шаре некоторого радиуса.
Оператор называется ограниченным, если всякое ограниченное в множество он переводит в ограниченное в
Теорема Если оператор линеен, то следующие утверждения эквивалентны.
1. Существует точка 
, в которой оператор непрерывен.
2. Оператор непрерывен.
3. Оператор ограничен.
4. Величина 
конечна
Доказательство. 1
: Допустим непрерывен в 
докажем, что непрерывен в любой другой точке 
. 
, тогда для 
, что доказывает непрерывность оператора .
. Поскольку непрерывен, то он непрерывен и в нуле. Следовательно, , что для 
, справедливо 
. Пусть теперь X -- ограниченное множество в H, т. е. такое множество, что существует положительное число 
, 
. Пусть 
, 
.
Поскольку ограничен, то 
, откуда существование 
очевидна.
Пусть 
, тогда положим 
, 
, т. е непрерывен в нуле.