30. Решение типовых задач

Задача 3.1.

Требуется:

1. Оценить следующую структурную модель на идентификацию:

2. Исходя из приведенной формы модели уравнений

Найти структурные коэффициенты модели.

Решение:

1. Модель имеет три эндогенных и три экзогенных переменных.

Проверим каждое уравнение системы на необходимое (Н) и достаточное (Д) условие идентификации.

Первое уравнение.

Н: эндогенные переменные – 2 ,

Отсутствующих экзогенных – 1 .

Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в первом уравнении отсутствуют у2 и х2. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение	Отсутствующие переменные
У2	Х2
Второе	- 1	A22
Третье	B32	0

Определитель матицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и первое уравнение точно идентифицируемо.

Второе уравнение.

Н: эндогенные переменные – 3 ,

Отсутствующих экзогенных – 2 .

Выполняется необходимое равенство: 3=2+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в первом уравнении отсутствуют х1 и х3. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение	Отсутствующие переменные
Х1	Х3
Первое	A11	A13
Третье	A31	A33

Определитель матицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и второе уравнение точно идентифицируемо.

Третье уравнение.

Н: эндогенные переменные – 2 ,

Отсутствующих экзогенных – 1 .

Выполняется необходимое равенство: 2=1+1, следовательно, уравнение точно идентифицируемо.

Д: в первом уравнении отсутствуют у1 и х2. Построим матрицу из коэффициентов при них в других уравнениях системы:

Уравнение	Отсутствующие переменные
У1	Х2
Второе	- 1	0
Третье	B21	A22

Определитель матицы не равен 0, ранг матрицы равен 2; следовательно, выполняется достаточное условие идентификации, и третье уравнение точно идентифицируемо.

Следовательно, исследуемая система точно идентифицируема и может быть решена косвенным методом наименьших квадратов.

2. Вычислим структурные коэффициенты модели:

1) из третьего уравнения приведенной формы выразим х2 (так как его нет в первом уравнении структурной формы):

.

Данное выражение содержит переменные у3, х1 и х3, которые нужны для первого уравнения структурной формы модели (СФМ). Подставим полученное выражение х2 в первое уравнение приведенной формы модели (ПФМ):

Þ

- первое уравнение СФМ;

2) во втором уравнении СФМ нет переменных х1 и х3. Структурные параметры второго уравнения СФМ можно будет определить в два этапа:

Первый этап: выразим х1 в данном случае из первого или третьего уравнения ПФМ. Например, из первого уравнения:

.

Подстановка данного выражения во второе уравнение ПФМ не решило бы задачу до конца, так как в выражении присутствует х3, которого нет в СФМ.

Выразим х3 из третьего уравнения ПФМ:

.

Подставим его в выражение х1:

;

.

Второй этап: аналогично, чтобы выразить х3 через искомые у1, у3 и х2, заменим в выражении х3 значение х1 на полученное из первого уравнения ПФМ:

.

Следовательно, . Подставим полученные х1 и х3 во второе уравнение ПФМ:

- второе уравнение СФМ.

3) из второго уравнения ПФМ выразим х2, так как его нет в третьем уравнении СФМ:

.

Подставим полученное выражение в третье уравнение ПФМ:

- третье уравнение СФМ.

Таким образом, СФМ примет вид:

Задача 3.2.

Рассматривается следующая модель:

	(функция потребления)
	(функция инвестиций)
	(функция денежного рынка)
	(тождество дохода)

Где - расходы на потребление в период t;

- совокупный доход в период t;

- инвестиции в период t;

- процентная ставка в период t;

- денежная масса в период t;

- государственные расходы в период t;

- расходы на потребление в период t-1;

- инвестиции в период t-1;

, , - случайные ошибки.

Требуется:

1. В предположении, что имеются временные ряды данных по всем переменным модели, предложите способ оценки ее параметров.

2. Как изменится ваш ответ на вопрос п. 1, если из модели исключить тождество дохода?

Решение:

1. Модель представляет собой систему одновременных уравнений. Для ответа на вопрос о способе оценки параметров модели проверим каждое ее уравнение на идентификацию.

Модель включает четыре эндогенные переменные и четыре предопределенные переменные (две экзогенные переменные - и две лаговые эндогенные переменные - ). Проверим необходимое условие идентификации для уравнений модели.

1 уравнение.

Это уравнение включает две эндогенные переменные и одну предопределенную переменную (). Следовательно, число предопределенных переменных, не входящих в это уравнение, плюс 1, больше числа эндогенных переменных, входящих в уравнение: 3+1>2. Уравнение сверхидентифицировано.

2 уравнение.

Уравнение включает две эндогенные переменные и не включает три предопределенные переменные. Как и уравнение 1, оно сверхидентифицировано.

3 уравнение.

Это уравнение тоже включает две эндогенные переменные и не включает три предопределенные переменные. Это уравнение сверхидентифицировано.

4 уравнение.

Уравнение 4 представляет собой тождество, параметры которого известны. Необходимости в его идентификации нет.

Проверим для каждого из уравнений достаточное условие идентификации. Для этого составим матрицу коэффициентов при переменных модели:

1 уравнение	-1	B11	B12	0	0	0	0	0
2 уравнение	0	0	0	-1	B21	B22	0	0
3 уравнение	0	B31	0	0	-1	0	B32	0
Тождество	1	-1	0	1	0	0	0	1

В соответствии с достаточным условием идентификации определитель матрицы коэффициентов при переменных, не входящих в исследуемое уравнение, не должен быть равен нулю, а ранг матрицы должен быть равен числу эндогенных переменных модели минус 1, то есть 4-1=3.

1 уравнение.

Матрица коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение, имеет вид:

.

Ее ранг равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3´3 этой матрицы не равен нулю:

.

Достаточное условие идентификации для 1 уравнения выполняется.

2 уравнение.

Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение:

.

Ее ранг равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3´3 этой матрицы не равен нулю:

.

Достаточное условие идентификации для 2 уравнения выполняется.

3 уравнение.

Выпишем матрицу коэффициентов при переменных, не входящих в уравнение:

.

Ее ранг равен 3, так как определитель квадратной подматрицы 3´3 этой матрицы не равен нулю:

.

Достаточное условие идентификации для 3 уравнения выполняется.

Таким образом, все уравнения модели сверхидентифицированы. Для оценки параметров каждого из уравнений будем применять двухшаговый метод наименьших квадратов (ДМНК).

Шаг 1. Запишем приведенную форму модели в общем виде:

;

;

;

,

Где V1, V2, V3, V4 – случайные ошибки.

Определим параметры каждого из приведенных выше уравнений в отдельности обычным методом наименьших квадратов. Затем найдем расчетные значения эндогенных переменных , используемых в правой части структурной модели, подставляя в каждое уравнение приведенной формы соответствующие значения предопределенных переменных.

Шаг 2. В исходных структурных уравнениях заменим эндогенные переменные, выступающие в качестве факторных признаков, их расчетными значениями:

, где ;

, где ;

, где .

Применяя к каждому из полученных уравнений в отдельности обычный метод наименьших квадратов, определим структурные параметры a1, b11, b12, a2, b21, b22, a3, b31, b32.

2. Если из модели исключить тождество дохода, число предопределенных переменных модели уменьшится на 1 (из модели будет исключена переменная ). Число эндогенных переменных модели также снизится на единицу – переменная Yt станет экзогенной. В правых частях функции потребления и функции денежного рынка будут находиться только предопределенные переменные. Функция инвестиций постулирует зависимость эндогенной переменной It от эндогенной переменной rt (которая зависит только от предопределенных переменных) и предопределенной переменной It-1. Таким образом, получается рекурсивная система. Ее параметры можно оценивать обычным методом наименьших квадратов, и нет необходимости исследовать систему уравнений на идентификацию.