Задача 1.
Найти стационарную точку функции
Указание
В стационарной точке
Решение
Следовательно, координаты стационарной точки можно найти как решение системы
Ответ: (1,-2).
Задача 2.
Найти точку минимума функции
Указание
Пусть М0 – стационарная точка,
Тогда М0 является точкой минимума, если D > 0, A > 0.
Решение
Найдем стационарные точки функции:
Итак, стационарные точки функции –
Исследуем их на экстремум.
Нет экстремума.
Ответ: 
Задача 3.
Найти экстремум функции
При условии 2Х + 5У + 3 = 0.
Указание
Найдите экстремум функции Лагранжа
Решение
Исследуем на экстремум функцию Лагранжа
Исследуем найденную точку на экстремум:
Следовательно, 
Точка условного максимума, и значение функции в этой точке равно
Ответ: 
Задача 4.
На параболе
Найти точку, ближайшую к прямой Х – У = 2.
Указание
Расстояние от точки М(Х0, У0) до прямой Х – У = 2 определяется по формуле
Следовательно, требуется найти минимум функции
При условии
Решение
Расстояние от точки М(Х0, У0) до прямой Х – У = 2 определяется по формуле
Следовательно, требуется найти минимум функции
При условии
Составим функцию Лагранжа:
Не выполнено условие на знак подмодульного выражения.
Стационарная точка. При этом
Следовательно, найдена точка условного минимума.
Ответ: 
Задача 5.
Найти множество значений функции
Указание
Найдите наибольшее и наименьшее значение функции в данной области,
Которые могут достигаться либо на границе, либо в стационарной точке внутри области.
Решение
Найдем стационарные точки функции:
Стационарная точка, Z(0,0) = 0.
Для определения наибольшего и наименьшего значения функции на границе области найдем условный экстремум функции Z = Xy при условии X2 + Y2 = 1.
Составим функцию Лагранжа:
Итак, найдены четыре стационарные точки:
При этом
Следовательно, наименьшее и наибольшее значения достигаются на границе области, а так как функция непрерывна, она принимает внутри области все промежуточные значения между наименьшим и наибольшим, то есть множество ее значений в данной области – 
Ответ: