Частные производные функции Z = F (X,Y) являются, в свою очередь,
Функциями переменных Х и У. Следовательно, можно найти их частные производные по этим переменным. Обозначим их так:
Таким образом, получены четыре частные производные 2-го порядка. Каждую из них можно вновь продифференцировать по Х и по У и получить восемь частных производных 3-го порядка и т. д. Определим производные высших порядков так:
|
Частной производной N-го порядка функции нескольких переменных называется первая производная от производной (N – 1)-го порядка. |
Частные производные обладают важным свойством: результат дифференцирования не зависит от порядка дифференцирования (например, 
). Докажем это утверждение.
Теорема 3. Если функция Z = F (X,Y) И ее частные производные
определены и непрерывны в точке М (х, у) и в некоторой ее окрестности, то в этой точке
Доказательство.
Рассмотрим выражение
И введем вспомогательную функцию
Тогда
Из условия теоремы следует, что J(Х) дифференцируема на отрезке [X, X+ΔX], поэтому к ней можно применить теорему Лагранжа:
Так как в окрестности точки М определена 
дифференцируема на отрезке [Y, Y + ΔY], поэтому к полученной разности вновь можно применить теорему Лагранжа:
Тогда
Изменим порядок слагаемых в выражении для А:
И введем другую вспомогательную функцию
Проведя те же преобразования, что и для 
, получим, что
Следовательно,
В силу непрерывности 
и 
.
Поэтому, переходя к пределу при 
получаем, что
Что и требовалось доказать.
Следствие. Указанное свойство справедливо для производных любого порядка и для функций от любого числа переменных.